2005-北京卷文-12 填-正弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与三角形内角和。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$AC=\sqrt{3}$，$\angle A=45^{\circ }$，$\angle C=75^{\circ }$，则 $BC$ 的长为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\angle B=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$。
2. 正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$。
3. $BC=\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

$\surd 2$

✍【详细解析】

Abstract

由三角形内角和得 $\angle B=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$．由正弦定理，$\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 60^{\circ }}$， 所以 $BC=\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理解三角形

核心方法：内角和补角，正弦定理边对角列式

避坑指南：$\angle B=60^{\circ }$，$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，$BC=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{3}/2}=\sqrt{2}$；边角对应别错位

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理解三角形（人教 A 版必修二）

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；已知两角一边可直接解出其余

方法推广：内角和先补第三角，再按边对角对应关系列比例式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2008-北京文-04 单-正弦定理求角