2005-全国卷III理-22 解-导数在研究函数单调性与

本题导读

本题考查利用导数精确刻画商形式函数的单调性与最值、双动点量词逻辑命题的集合论转化。核心在于导数判定法、值域包含控制法。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{4x^2-7}{2-x},x\in [0,1]$.

(1)求 $f(x)$ 的单调区间和值域；

(2)设 $a\ge 1$, 函数 $g(x)=x^3-3a^{2}x-2a,x\in [0,1]$. 若对于任意 $x_1\in [0,1]$, 总存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $g(x_0)=f(x_1)$ 成立, 求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，在定义域 $[0,1]$ 内通过导数符号判定单调区间，进而计算边界值与极值确定值域。
2. 第二问：将“对于任意 $x_1\in [0,1]$, 总存在 $x_0\in [0,1]$ 使得 $g(x_0)=f(x_1)$”转化为集合的包含关系，即 $f(x)$ 的值域是 $g(x)$ 的值域的子集。利用导数确定 $g(x)$ 的单调性并写出其值域，建立关于参数 $a$ 的不等式组求解。

✅【答案】

Success

$a$ 的取值范围是 $\left[1,\frac{3}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{8x(2-x)-(4x^2-7)(-1)}{(2-x{)}^2}=\frac{16x-8x^2+4x^2-7}{(2-x{)}^2}=\frac{-4x^2+16x-7}{(2-x{)}^2}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $-4x^2+16x-7=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$ 或 $x=\frac{7}{2}$（舍去）。 当 $x\in [0,1]$ 时，分母 $(2-x{)}^2>0$：

• 当 $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(\frac{1}{2},1\right]$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。

因此，$f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$，单调递增区间为 $\left[\frac{1}{2},1\right]$。

计算区间端点值与极小值： $f(0)=-\frac{7}{2}$ $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4\times \frac{1}{4}-7}{2-\frac{1}{2}}=\frac{-6}{\frac{3}{2}}=-4$ $f(1)=\frac{4-7}{2-1}=-3$

所以，函数 $f(x)$ 的最小值为 $-4$，最大值为 $-3$，其值域为 $[-4,-3]$。

（2）由题意，“对于任意 $x_1\in [0,1]$, 总存在 $x_0\in [0,1]$ 使得 $g(x_0)=f(x_1)$ 成立”，等价于： $A\subseteq B$ 其中 $A$ 为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的值域，$B$ 为 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的值域。 由（1）知 $A=[-4,-3]$。

对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)$ 因为 $a\ge 1$，当 $x\in [0,1]$ 时，$x\le 1\le a$， 所以 $x-a\le 0$，从而 $g^{\prime }(x)\le 0$ 恒成立。 因此，函数 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递减。

其值域 $B=[g(1),g(0)]$，其中： $g(0)=-2a$ $g(1)=1-3a^2-2a$ 即 $B=[1-3a^2-2a,-2a]$。

由 $A\subseteq B$ 得不等式组： $\{\begin{array}{l}1-3a^2-2a\le -4\\ -2a\ge -3\end{array}$

解得：

• 由第一式得 $3a^2+2a-5\ge 0⟹(3a+5)(a-1)\ge 0$，结合 $a\ge 1$，解得 $a\ge 1$；
• 由第二式得 $a\le \frac{3}{2}$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[1,\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用导数精确刻画商形式函数的单调性与最值、双动点量词逻辑命题的集合论转化。
2. 核心方法：导数判定法、值域包含控制法。
3. 避坑指南：

• 区别“任意与存在”模型：本题条件为 $f(x)$ 的值域是 $g(x)$ 的值域的子集（$A\subseteq B$）。若条件变为“存在 $x_1,x_0$ 使得 $g(x_0)=f(x_1)$”，则转化为值域交集非空（$A\cap B\ne \varnothing$）；若变为“对任意 $x_1,x_0$ 恒有 $g(x_0)\ge f(x_1)$”，则转化为 $g(x{)}_{\min }\ge f(x{)}_{\max }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高等数学中映射与值域包含的基本概念，是高考导数大题中考查函数值域与不等式综合（能成立与恒成立问题）的压轴经典构型。
2. 结论推广：处理此类问题的通性通法为分别求出两个函数在给定区间上的值域，再根据逻辑量词的要求建立区间端点之间的大小关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

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