2005-全国卷III理-20 解-等差数列的通项与等比中项

本题导读

本题核心考查等差数列与等比数列的综合应用。通过等比中项条件确定等差数列首项与公差的关系，再利用等比数列的通项公式确定下标数列的通项。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，公差 $d\ne 0$，$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等比中项. 已知数列 $a_1,a_3,a_{k_1},a_{k_2},\cdots ,a_{k_n},\cdots$ 成等比数列，求数列 $\{k_n\}$ 的通项 $k_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 依据 $a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等比中项列出方程 $a_2^2=a_1{a}_4$，结合等差数列通项公式求出首项 $a_1$ 与公差 $d$ 的关系。
2. 确定等比数列 $a_1,a_3,a_{k_1},\cdots$ 的首项与公比，写出其通项公式。
3. 利用等差数列通项表达出 $a_{k_n}$，通过对比两边关于 $d$ 的系数，求出 $k_n$ 的表达式。

✅【答案】

Success

$k_n=3^{n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$ ($d\ne 0$)。 因为 $a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等比中项，所以： $a_2^2=a_1{a}_4$

将 $a_2=a_1+d$, $a_4=a_1+3d$ 代入上式得： $(a_1+d{)}^2=a_1(a_1+3d)$ $a_1^2+2a_{1}d+d^2=a_1^2+3a_{1}d$ $d^2=a_{1}d$

因为 $d\ne 0$，两边同除以 $d$ 得： $a_1=d$

因此，等差数列的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=d+(n-1)d=nd$

设该等比数列为 $\{g_m\}$，其项依次为 $g_1=a_1=d$, $g_2=a_3=3d$, $g_3=a_{k_1}$, $\cdots$, $g_{n+2}=a_{k_n}$。 则该等比数列的公比 $q$ 为： $q=\frac{g_2}{g_1}=\frac{3d}{d}=3$

所以该等比数列的第 $n+2$ 项为： $g_{n+2}=g_1\cdot q^{(n+2)-1}=d\cdot 3^{n+1}$

又因为 $g_{n+2}=a_{k_n}=k_n\cdot d$，所以： $k_n\cdot d=d\cdot 3^{n+1}$

因为 $d\ne 0$，两边消去 $d$ 得： $k_n=3^{n+1}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与等比数列的性质交汇、等比中项的代数意义、数列通项的递推求解。
2. 核心方法：基本量法。
3. 避坑指南：

• 审题陷阱：务必看清已知等比数列的项与 $k_n$ 的对应位置。$a_{k_n}$ 实际对应的是该等比数列的第 $n+2$ 项，其幂次应为 $(n+2)-1=n+1$，若误当作第 $n$ 项算成 $3^{n-1}$ 或第 $n+1$ 项算成 $3^n$ 将导致全题错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中等差与等比数列通项性质的综合拓展，属于考查“子数列”概念的经典递推题目。
2. 结论推广：若等差数列公差 $d\ne 0$，且 $a_m$ 是 $a_1$ 与 $a_{2m-1}$ 的等比中项（本题中 $m=2$），则必有 $a_1=d$。若此时以 $a_1,a_{2m-1}$ 为前两项构成等比数列，则其第 $n+2$ 项对应的原等差数列下标通项公式为 $k_n=(2m-1{)}^{n+1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

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