2005-全国卷III理-19 解-正弦定理与余弦定理

本题导读

本题核心考查解三角形与平面向量的综合应用。第一问利用等比数列性质与正弦定理将角的关系转化为边的比例，通过三角恒等变换求值；第二问利用向量数量积与余弦定理建立关于边长的方程组，求解两边之和。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a,b,c$ 成等比数列，$\cos B=\frac{3}{4}$.

(1)求 $\cot A+\cot C$ 的值；

(2)设 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{3}{2}$，求 $a+c$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由 $a,b,c$ 成等比数列得 $b^2=ac$。将目标式 $\cot A+\cot C$ 通分展开，分子利用两角和正弦公式化为 $\sin B$，分母利用正弦定理及等比性质化为 ${\sin }^{2}B$，进而代入求值。
2. 第二问：将向量数量积公式展开为 $ac\cos B=\frac{3}{2}$，求出 $ac$ 及 $b^2$ 的值。再利用余弦定理列出关于 $a^2+c^2$ 的方程，结合完全平方公式求出 $a+c$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

(2) $3$

✍【详细解析】

Abstract

解：由 $a,b,c$ 成等比数列，得 $b^2=ac$。 因为 $\cos B=\frac{3}{4}$ 且 $B\in (0,\pi )$， 所以 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.

（1） $\cot A+\cot C=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{\sin C\cos A+\cos C\sin A}{\sin A\sin C}=\frac{\sin (A+C)}{\sin A\sin C}$ 因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$. 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 得： $\sin A\sin C=\frac{a}{2R}\cdot \frac{c}{2R}=\frac{ac}{4R^2}$ ${\sin }^{2}B={\left(\frac{b}{2R}\right)}^2=\frac{b^2}{4R^2}$ 因为 $b^2=ac$，所以 $\sin A\sin C={\sin }^{2}B$. 代入原式得： $\cot A+\cot C=\frac{\sin B}{{\sin }^{2}B}=\frac{1}{\sin B}=\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$

（2） 由向量数量积公式得： $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos B=c\cdot a\cdot \cos B=\frac{3}{2}$ 将 $\cos B=\frac{3}{4}$ 代入上式得： $ac\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}⟹ac=2$ 从而 $b^2=ac=2$.

由余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 得： $2=a^2+c^2-2\times 2\times \frac{3}{4}⟹2=a^2+c^2-3⟹a^2+c^2=5$ 根据完全平方公式： $(a+c{)}^2=a^2+c^2+2ac=5+2\times 2=9$ 由于 $a,c$ 为三角形边长，故 $a+c>0$，解得： $a+c=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦与余弦定理的综合解三角形、向量的数量积代数化、三角公式的化简。
2. 核心方法：边角互化思想、整体代换思维（如由 $a^2+c^2$ 与 $ac$ 整体组合成 $(a+c{)}^2$）。
3. 避坑指南：

• 第一问中，注意不要盲目将 $\cot$ 转换为边长代入（形如 $\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}$），该方法计算量极大，利用正弦定理进行“角化边”的通分化简效率最高。
• 最终化简 $(a+c{)}^2=9$ 开方时，必须结合边长和的几何现实（大于 0）去掉负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中解三角形的常规题型，通过引入向量与等比数列的概念进行多知识点交叉，考查考生基础工具的灵活搭配。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若边长 $a,b,c$ 成等比数列，则必有 $\sin A\sin C={\sin }^{2}B$，且恒有 $\cot A+\cot C=\frac{1}{\sin B}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)