本题导读
本题核心考查空间线面垂直的证明以及二面角的求解。第一问利用面面垂直的性质定理进行论证；第二问利用线面垂直的性质构造二面角的平面角，通过解直角三角形求出二面角的大小。
📌【题干】
Question
（2005年全国卷III(理)） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，平面 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求面 与面 所成的二面角的大小.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问：由底面为正方形得 ，再结合平面 平面 且交线为 ，由面面垂直的性质定理即可证明。
- 第二问：在平面 内作 于 ，利用第一问的结论 平面 推出 ，进而证明 平面 ，得出 即为二面角的平面角，最后在 中求解。
✅【答案】
Success
(1) 证明见解析；
(2) 面 与面 所成的二面角的大小为 （或 ）。
✍【详细解析】
Abstract
（1）证明： 因为底面 是正方形，所以 。 又因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 根据面面垂直的性质定理， 平面 。
（2）解： 在平面 内，过点 作 ，垂足为 。 由（1）知 平面 ，且 平面 ，所以 。 因为 ，且 平面 ， 所以 平面 。 又因为 平面 ，所以 。 因此， 为面 与面 所成二面角的平面角。
设正方形 的边长为 ，则 。 因为侧面 是边长为 的正三角形，且 ， 所以 为该正三角形的高，其长度为：
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，即 为直角三角形。 在 中：
所以，面 与面 所成的二面角的大小为 （或 ）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、二面角的几何构造与计算。
- 核心方法：几何构造法。
- 避坑指南：
- 第一问在使用面面垂直性质定理时，必须明确写出“交线为 ”以及“ 平面 ”这两个关键前提条件。
- 第二问中证明 为平面角时，必须完整说明 且 的推导过程。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于教材中关于“面面垂直的性质”与“二面角定义”的典型综合应用题，属于传统几何法（作、证、算）解决空间角的标准模板。
- 结论推广：在四棱锥 中，若底面 为矩形，侧面 为任意三角形且平面 底面，则侧棱 恒垂直于侧面 ；此时面 与面 所成二面角的正切值等于 与 到 的距离之比。
🔗【关联脉络】
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