2005-全国卷III理-16 填-平面直角坐标系与点坐标表示

本题导读

本题核心考查直角三角形中动态点到两直角边距离乘积的最值问题。可以通过建立平面直角坐标系转化为一元二次函数求最值，也可以通过相似三角形的比例关系进行代数化简。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BC=3$，$AC=4$，$P$ 是 $AB$ 上的点，则点 $P$ 到 $AC$、 $BC$ 的距离乘积的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一（坐标法）：以 $C$ 为原点，以 $CB,CA$ 所在直线分别为 $x,y$ 轴建立平面直角坐标系。写出直线 $AB$ 的方程，设出点 $P$ 的坐标。点 $P$ 到两直角边的距离恰好等于其横、纵坐标值，写出乘积表达式并求解二次函数最值。
2. 解法二（几何相似法）：过点 $P$ 向 $AC,BC$ 作垂线。利用相似三角形的边长比例关系，用一个未知数表达出两条垂线段的长，通过基本不等式或二次函数求最大值。

✅【答案】

Success

3

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标法 以直角顶点 $C$ 为坐标原点，射线 $CB,CA$ 分别为 $x,y$ 轴的正方向建立平面直角坐标系。 根据题意，各点坐标为： $C(0,0),B(3,0),A(0,4)$

利用直线的截距式方程，可得直线 $AB$ 的方程为： $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1⟹y=-\frac{4}{3}x+4$

因为 $P$ 是线段 $AB$ 上的动点，设点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，其横坐标的取值范围为 $x\in [0,3]$。 点 $P$ 到 $AC$（即 $y$ 轴）的距离为 $x$，到 $BC$（即 $x$ 轴）的距离为 $y$。 设两距离的乘积为 $W$，则： $W=x\cdot y=x\left(-\frac{4}{3}x+4\right)=-\frac{4}{3}{x}^2+4x$

这是一个关于 $x$ 的二次函数，开口向下。利用二次函数的顶点公式，其对称轴为： $x=-\frac{4}{2\times \left(-\frac{4}{3}\right)}=\frac{3}{2}$

因为 $\frac{3}{2}\in [0,3]$，所以当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$W$ 取得最大值： $W_{\max }=-\frac{4}{3}\times {\left(\frac{3}{2}\right)}^2+4\times \frac{3}{2}=-\frac{4}{3}\times \frac{9}{4}+6=-3+6=3$

解法二：几何相似法 设点 $P$ 到 $AC$ 的距离（即垂线段 $PD$）为 $x$，到 $BC$ 的距离（即垂线段 $PE$）为 $y$。 由此构造出矩形 $CDPE$，有 $PE\parallel AC$。 因为 $PE\parallel AC$，所以 $△BPE\sim △BAC$。 根据相似三角形的对应边成比例： $\frac{PE}{AC}=\frac{BE}{BC}⟹\frac{y}{4}=\frac{3-x}{3}$

化简可得： $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

要求 $xy$ 的最大值，根据均值不等式（基本不等式）$a+b\ge 2\sqrt{ab}$： $1=\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\ge 2\sqrt{\frac{x}{3}\cdot \frac{y}{4}}=2\sqrt{\frac{xy}{12}}$

两边平方得： $1\ge 4\times \frac{xy}{12}⟹1\ge \frac{xy}{3}⟹xy\le 3$

当且仅当 $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{3}{2},y=2$ 时等号成立。 所以，距离乘积的最大值是 3。

答案：3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的截距式方程、均值不等式求最值的条件、二次函数的性质。
2. 核心方法：建系坐标法、均值不等式法。
3. 避坑指南：

• 建立坐标系时，务必将直角顶点置于原点，这样点 $P(x,y)$ 到轴的距离直接等于坐标值，可使算式最简。
• 使用均值不等式时，必须口算验证等号成立的条件（$x=\frac{3}{2},y=2$）是否在线段 $AB$ 的有效范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自初中平面几何中“直角三角形内接矩形面积最值”的经典问题。在高中阶段引入平面直角坐标系和基本不等式后，作为解析几何与代数不等式的交汇小题呈现。
2. 结论推广：在直角三角形 $ABC$（$\angle C=90^{\circ }$）中，若两直角边长分别为 $a$ 和 $b$，动点 $P$ 在斜边 $AB$ 上移动，则点 $P$ 到两直角边的距离乘积的最大值恒为定值 $\frac{ab}{4}$，且此时点 $P$ 恰好为斜边 $AB$ 的中点。代入本题数据 $\frac{3\times 4}{4}=3$，可实现直接秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 03.02 均值不等式

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