2005-全国卷III理-15 填-点到直线的距离公式

本题导读

本题核心考查解析几何中点到直线距离公式与概率统计中数学期望的跨章节交汇，通过斜率的随机取样测验综合代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 设 $l$ 为平面上过点 $(0,1)$ 的直线，$l$ 的斜率等可能地取 $-2\sqrt{2},-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{2},0,\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{3},2\sqrt{2}$，用 $\xi$ 表示坐标原点到 $l$ 的距离，则随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi =$\underline{\quad\quad\quad}$.$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立关于斜率 $k$ 的直线方程，利用点到直线的距离公式推导出距离随机变量的代数表达式 $\xi =\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。
2. 代入 7 个等可能的斜率值，利用 $k$ 的正负对称性计算出 $\xi$ 的所有不同可能取值及其对应的合并概率，最后利用期望公式求和。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

解：设直线 $l$ 的斜率为 $k$，因其过点 $(0,1)$，故直线方程为 $y-1=kx$，即 $kx-y+1=0$。 坐标原点 $(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $\xi$ 为： $\xi =\frac{|k\cdot 0-0+1|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$

由于斜率 $k$ 等可能地取 7 个不同的值，每个值被选中的概率均为 $\frac{1}{7}$。 根据 $k$ 的不同取值，分类计算 $\xi$ 的分布情况：

• 当 $k=0$ 时，$k^2=0$，$\xi =1$，共有 1 个值，概率 $P(\xi =1)=\frac{1}{7}$；
• 当 $k=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ 时，$k^2=\frac{5}{4}$，$\xi =\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}}=\frac{2}{3}$，共有 2 个值，概率 $P\left(\xi =\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{7}$；
• 当 $k=\pm \sqrt{3}$ 时，$k^2=3$，$\xi =\frac{1}{\sqrt{3+1}}=\frac{1}{2}$，共有 2 个值，概率 $P\left(\xi =\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{7}$；
• 当 $k=\pm 2\sqrt{2}$ 时，$k^2=8$，$\xi =\frac{1}{\sqrt{8+1}}=\frac{1}{3}$，共有 2 个值，概率 $P\left(\xi =\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{7}$。

因此，随机变量 $\xi$ 的数学期望为： $E\xi =1\times \frac{1}{7}+\frac{2}{3}\times \frac{2}{7}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{7}+\frac{1}{3}\times \frac{2}{7}$ $=\frac{1}{7}\times \left(1+\frac{4}{3}+1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{7}\times 4=\frac{4}{7}$

答案：$\frac{4}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线点斜式方程、点到直线的距离公式、古典概型分布列与数学期望定义。
2. 核心方法：对称性归项法。
3. 避坑指南：

• 忘加绝对值：点到直线距离公式的分子带有绝对值号，本题分子恒为 1，虽不影响结果但需保证写出公式的严密性。
• 概率合并漏数：由于斜率正负对称导致 $k^2$ 相同，在列出 $\xi$ 的取值时，必须将对应的正负两个斜率的概率相加（即 $\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$），切勿当成 $\frac{1}{7}$ 计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中“点到直线的距离公式”与“离散型随机变量期望”的课后复习交汇题，创造性地利用几何度量值作为随机变量的取值载体，考查数学多分支知识的融会贯通。
2. 结论推广: 若直线过定点 $(0,d)$，且斜率平方 $k^2$ 的采样具有对称分布特征，则对应的距离公式为 $\xi =\frac{|d|}{\sqrt{k^2+1}}$。此模型常用于各种涉及随机直线与圆的位置关系、弦长分布等解析几何概率题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)