2005-全国卷III理-14 填-平面向量的坐标减法运算

本题导读

本题核心考查平面向量的坐标运算以及三点共线的判定特征。通过计算已知点的向量坐标差，利用向量共线的充要条件建立一元一次方程完成求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}=(k,12)$, $\overrightarrow{OB}=(4,5)$, $\overrightarrow{OC}=(-k,10)$，且 $A、B、C$ 三点共线，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量的减法法则“后减前”，分别求出共线向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标。
2. 依据 $A,B,C$ 三点共线转化为向量 $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$，利用坐标共线的充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列出关于 $k$ 的代数方程求解。

✅【答案】

Success

$-\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由向量的坐标减法法则，可求得： $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4-k,5-12)=(4-k,-7)$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-k-k,10-12)=(-2k,-2)$

因为 $A、B、C$ 三点共线，所以向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线。 根据平面向量共线的坐标表示条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，得： $(4-k)\times (-2)-(-7)\times (-2k)=0$

展开并化简方程： $-8+2k-14k=0$ $-12k=8$ $k=-\frac{8}{12}=-\frac{2}{3}$

答案：$-\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的基底与坐标表示、两向量平行的代数判定公式。
2. 核心方法：坐标方程法。
3. 避坑指南：

• 求向量坐标时切勿将减法顺序弄反（如错算为 $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）。
• 在进行交叉相乘 $(4-k)(-2)-(-7)(-2k)=0$ 的多负号项展开时，注意负负得正的符号更替，避免因计算粗心导致丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“平面向量的坐标运算”章节的基本概念演练习题。考查目的是让考生熟练掌握利用代数手段解决几何共线问题的解析方法。
2. 结论推广：若平面内任意三点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ 共线，对应的坐标行列式满足 $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$，展开即为经典的斜率相等或向量共线代数式。

🔗【关联脉络】

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• 09.04 平面向量的坐标运算

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