2005-全国卷III理-13 填-复数的代数运算

本题导读

本题核心考查复数的代数四则运算。通过因式分解将含有未知复数 $z$ 的方程进行移项变形，将其转化为标准的复数除法算式进行化简。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知复数 $z_0=3+2\text{i}$，复数 $z$ 满足 $z\cdot z_0=3z+z_0$，则复数 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将已知方程 $z\cdot z_0=3z+z_0$ 移项，提取公因式 $z$，构造出 $z(z_0-3)=z_0$ 的形式。
2. 将 $z_0=3+2\text{i}$ 代入方程中，消除常数项，化简为 $z\cdot 2\text{i}=3+2\text{i}$。
3. 方程两边同除以 $2\text{i}$，利用分母实数化或分项相除的方法求出复数 $z$ 的标准代数形式。

✅【答案】

Success

$1-\frac{3}{2}\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因为复数 $z$ 满足 $z\cdot z_0=3z+z_0$， 移项得： $z\cdot z_0-3z=z_0$

提取公因式 $z$ 得： $z(z_0-3)=z_0$

将 $z_0=3+2\text{i}$ 代入上式中，得： $z(3+2\text{i}-3)=3+2\text{i}$ $z\cdot 2\text{i}=3+2\text{i}$

两边同时除以 $2\text{i}$ 可得： $z=\frac{3+2\text{i}}{2\text{i}}$

将分式拆开进行分项相除： $z=\frac{3}{2\text{i}}+\frac{2\text{i}}{2\text{i}}=\frac{3\cdot (-\text{i})}{2\text{i}\cdot (-\text{i})}+1$

由于 ${\text{i}}^2=-1$，进一步化简得： $z=-\frac{3}{2}\text{i}+1=1-\frac{3}{2}\text{i}$

答案：$1-\frac{3}{2}\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数方程的通项隔离、复数的除法运算律。
2. 核心方法：分离变量法、分母实数化法。
3. 避坑指南：

• 虚数单位平方：务必牢记 ${\text{i}}^2=-1$，在处理分母含有 $\text{i}$ 的项进行实数化变换时，注意符号的更替，切勿粗心漏掉负号。
• 规范书写：最终填空结果必须化简为最简的 $a+b\text{i}$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 形式，不可保留分式形态。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于“复数的四则运算”章节的基础训练题。作为填空题的开篇首题，难度较低，旨在稳定考生的解题节奏。
2. 结论推广：关于形如 $z\cdot z_0=kz+z_0$ （$k\in \mathbb{R}$）的复数方程，其一般代数解为 $z=\frac{z_0}{z_0-k}$。若已知复数 $z_0=a+b\text{i}$ 且恰好满足实部 $a=k$，则分母部分将直接精简为纯虚数 $b\text{i}$，运算效率大幅提升。

🔗【关联脉络】

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• 12.01 数系的扩充与复数

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