2005-全国卷III理-11 单-点到平面的距离

本题导读

本题核心考查立体几何中点到平面的距离问题。通过将不共面的四个定点轴线化为空间四面体的四个顶点，利用距离相等的空间几何特征，对点在平面两侧的分布进行全面的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 不共面的四个定点到平面 $\alpha$ 的距离都相等，这样的平面 $\alpha$ 共有()

A. 3个　　　　　　B. 4个　　　　　　C. 6个　　　　　　D. 7个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不共面的四个定点构成一个空间四面体。四个点到平面 $\alpha$ 的距离相等，由于点不能在平面上，所以这四个点必然分布在平面 $\alpha$ 的两侧。
2. 按照点在平面两侧的分布数量进行分类讨论：一类是“1个点在一侧，3个点在另一侧”；另一类是“2个点在一侧，2个点在另一侧”，分别计数后求和。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设这四个不共面的定点分别为 $A,B,C,D$，它们构成一个空间四面体。 由于四个点到平面 $\alpha$ 的距离都相等且不为 0，它们必须分布在平面 $\alpha$ 的两侧。按两侧点的个数分为以下两类情况：

第一类情况：“1对3”型 即平面 $\alpha$ 的一侧有 1 个点，另一侧有 3 个点。

• 不妨设 $A$ 在一侧，$B,C,D$ 在另一侧。
• 因为 $B,C,D$ 到平面 $\alpha$ 的距离相等且在同一侧，所以由 $B,C,D$ 确定的平面 $BCD$ 必然与平面 $\alpha$ 平行。
• 又因为 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离也等于 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离，所以平面 $\alpha$ 恰好是平行于底面 $BCD$ 且通过各侧棱中点的中截面。
• 这样的顶点共有 $C_4^1=4$ 种选法，因此对应 4 个符合条件的平面 $\alpha$。

第二类情况：“2对2”型 即平面 $\alpha$ 的一侧有 2 个点，另一侧有 2 个点。

• 不妨设 $A,B$ 在一侧，$C,D$ 在另一侧。
• 因为 $A,B$ 到平面 $\alpha$ 的距离相等且在同一侧，所以直线 $AB\parallel \alpha$；同理，$C,D$ 到平面 $\alpha$ 的距离相等且在同一侧，所以直线 $CD\parallel \alpha$。
• 此时平面 $\alpha$ 平行于两条异面直线 $AB$ 和 $CD$，且到两直线的距离相等，即为四面体的对棱中位面。
• 四面体共有 $C_4^2/2=3$ 对异面直线（对棱），每一对对应 1 个符合条件的平面 $\alpha$，因此共有 3 个这样的平面。

综上所述，满足条件的平面 $\alpha$ 共有 4 + 3 = 7 个。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面与平面的平行关系、直线与平面的平行判定、空间向量/距离的对称分布。
2. 核心方法：分类讨论思想、空间构型计数法。
3. 避坑指南：部分考生极易漏掉“2对2”的这一整类情况，想当然地认为只能“底面平行”，从而误选 B。应明确“同侧点连线与平面平行”是此类题目的突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于“空间点、线、面位置关系”的经典定性辨析习题。它将排列组合的计数思想融入到立体几何图形中，全面考查空间想象力。
2. 结论推广：若将本题模型推广至立方体（正六面体）中，求到立方体 8 个顶点距离都相等的平面个数，同样可以通过“4对4”等对称形态进行更复杂的空间截面划分与组合计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.04 空间向量求距离
• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)