2005-全国卷III理-09 单-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查双曲线中垂直焦点向量的几何与代数性质。通过向量数量积为零转化为圆的方程，再与双曲线方程联立求得点 $M$ 的纵坐标绝对值，即为到 $x$ 轴的距离。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点为 $F_1、F_2$，点 $M$ 在双曲线上且 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据双曲线方程确定基本量 $a,b,c$，写出焦点 $F_1,F_2$ 的坐标。
2. 依据 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$，利用向量坐标运算将其转化为圆的方程 $x^2+y^2=c^2$。
3. 将圆的方程与双曲线方程联立消去 $x$，解出 $|y|$，即得点 $M$ 到 $x$ 轴的距离。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 可知： $a^2=1,b^2=2$ 则焦点距平方为： $c^2=a^2+b^2=1+2=3⟹c=\sqrt{3}$ 所以焦点坐标为 $F_1(-\sqrt{3},0)$，$F_2(\sqrt{3},0)$。

设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，则向量表示为： $\overrightarrow{M{F}_1}=(-\sqrt{3}-x,-y),\overrightarrow{M{F}_2}=(\sqrt{3}-x,-y)$

因为 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$，所以有： $(-\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-x)+(-y)(-y)=0$ $x^2-3+y^2=0⟹x^2+y^2=3(\text{方程(1)})$

又因为点 $M(x,y)$ 在双曲线上，满足： $x^2-\frac{y^2}{2}=1⟹x^2=1+\frac{y^2}{2}(\text{方程(2)})$

将方程②代入方程①中，消去 $x^2$ 得： $\left(1+\frac{y^2}{2}\right)+y^2=3$ $\frac{3}{2}{y}^2=2⟹y^2=\frac{4}{3}$

所以，点 $M$ 的纵坐标绝对值为： $|y|=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

即点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的焦点坐标计算、向量垂直与数量积的坐标表示、二次曲线方程组的求解。
2. 核心方法：坐标代数联立消元法、几何特征转化法。
3. 避坑指南：

• 点到 $x$ 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值 $|y|$，而非横坐标 $|x|$。
• 向量垂直条件 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 的代数本质是点 $M$ 落在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上（即双曲线的内切圆/焦点圆）。直接记住该几何性质可省略向量坐标展开的计算步骤。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中经典的焦点三角形性质。通过将焦点三角形的直角特征（$\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$）包装为向量数量积的形式，考查了双曲线与圆的位置交汇关系。
2. 结论推广：对于标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若双曲线上存在点 $M$ 满足 $\angle F_{1}M{F}_2=90^{\circ }$，则点 $M$ 必落在其对应焦点圆 $x^2+y^2=c^2$ 上。联立可推广出通用的纵坐标公式：$y^2=\frac{b^2(c^2-a^2)}{a^2+b^2}$。由于 $c^2-a^2=b^2$，代入化简可得通项距离公式为 $|y|=\frac{b^2}{c}$。本题中 $b^2=2,c=\sqrt{3}$，直接代入即得 $|y|=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)