2005-全国卷III理-08 单-二倍角公式的变形

本题导读

本题核心考查三角函数的恒等变换与式子化简。通过逆用二倍角余弦的倍角变形简化分母，再通过因式约分合并求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） $\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=$()

A. $\tan \alpha$　　　　　　　B. $\tan 2\alpha$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角余弦公式的变形 $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$ 直接简化第一项的分母。
2. 代入后与第二项的分子 ${\cos }^2\alpha$ 及常数系数进行因式约分。
3. 利用商数关系将剩余的弦函数式子转化为正切函数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：根据二倍角的余弦公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$，可得变形公式： $1+\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha$

将上述等式代入原式中，化简得： $\frac{2\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2\sin 2\alpha }{2{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{\cos 2\alpha }$

约去分子与分母中的公因式 $2$ 和 ${\cos }^2\alpha$，得： $=\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }$

根据同角三角函数的商数关系 $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$，可得： $=\tan 2\alpha$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角余弦公式的变形应用、同角三角函数的商数关系。
2. 核心方法：整体约分消项法。
3. 避坑指南：避免一开始就盲目将所有二倍角均展开为单角（如将 $\sin 2\alpha$ 展开为 $2\sin \alpha \cos \alpha$），这会导致算式项数增多，增加不必要的运算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于三角恒等变换课后基本公式的演练题，旨在考查高考生对基本倍角公式变形的敏感度与化简熟练度。
2. 结论推广：在三角化简中，常见结构 $\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$ 可直接化简为 $\tan \frac{\theta }{2}$。将此结论推广至本题，第一部分可直接简记为 $2\tan \alpha$，结合二倍角正切公式的逆向关系能达成相同的化简目的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)