2005-全国卷III理-06 单-导数在函数单调性中的应用

本题导读

本题核心考查利用导数研究函数单调性以及对数式大小的比较。通常通过构造函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 并分析其在极值点 $e$ 两侧的单调性，或者利用对数性质化为同次根式进行直接对比。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 若 $a=\frac{\ln 2}{2},b=\frac{\ln 3}{3},c=\frac{\ln 5}{5}$，则()

A. $a<b<c$　　B. $c<b<a$　　C. $c<a<b$　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解法一（构造函数法）：注意到三个代数式具有相同的结构 $\frac{\ln x}{x}$，可构造函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$。求导确定其单调性，利用常数 $e\approx 2.718$ 作为桥梁判定 $b$ 与 $c$ 的大小，再对 $a$ 与 $b$ 或 $c$ 进行单独定量比较。
2. 解法二（对数性质变换法）：利用对数的性质将分母通分，转化为同底数或同方根的形式，通过比较真数的大小直接得出结论。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：构造函数法 构造辅助函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ($x>0$)。 对 $f(x)$ 进行求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=e$。

• 当 $x\in (0,e)$ 时，$1-\ln x>0⟹f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 上严格单调递增；
• 当 $x\in (e,+\infty )$ 时，$1-\ln x<0⟹f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $(e,+\infty )$ 上严格单调递减。

因为 $e\approx 2.718$，而 $3>e$ 且 $5>e$， 在单调递减区间 $(e,+\infty )$ 上，由于 $3<5$，所以： $f(3)>f(5)⟹b>c$

为了确定 $a$ 与 $b,c$ 的关系，利用对数运算律对 $a$ 与 $b$ 进行通分比较： $a=\frac{\ln 2}{2}=\frac{3\ln 2}{6}=\frac{\ln 2^3}{6}=\frac{\ln 8}{6}$ $b=\frac{\ln 3}{3}=\frac{2\ln 3}{6}=\frac{\ln 3^2}{6}=\frac{\ln 9}{6}$ 因为 $8<9$，且对数函数 $y=\ln x$ 单调递增，所以 $\frac{\ln 8}{6}<\frac{\ln 9}{6}⟹a<b$。

同理，对 $a$ 与 $c$ 进行通分比较： $a=\frac{\ln 2}{2}=\frac{5\ln 2}{10}=\frac{\ln 2^5}{10}=\frac{\ln 32}{10}$ $c=\frac{\ln 5}{5}=\frac{2\ln 5}{10}=\frac{\ln 5^2}{10}=\frac{\ln 25}{10}$ because $32>25$，所以 $\frac{\ln 32}{10}>\frac{\ln 25}{10}⟹a>c$。

综上所述，可得大小关系为 $c<a<b$。

解法二：对数性质变换法（直接通分法） 将 $a,b,c$ 变形为根式乘积的形式： $a=\frac{1}{2}\ln 2=\ln 2^{\frac{1}{2}}=\ln \sqrt{2}$ $b=\frac{1}{3}\ln 3=\ln 3^{\frac{1}{3}}=\ln \sqrt[3]{3}$ $c=\frac{1}{5}\ln 5=\ln 5^{\frac{1}{5}}=\ln \sqrt[5]{5}$

由于对数底数 $e>1$，真数越大则对数值越大。将各真数开方次数通分为 30 次方根： $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{15}{30}}=\sqrt[30]{2^{15}}=\sqrt[30]{32768}$ $\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{10}{30}}=\sqrt[30]{3^{10}}=\sqrt[30]{59049}$ $\sqrt[5]{5}=5^{\frac{1}{5}}=5^{\frac{6}{30}}=\sqrt[30]{5^6}=\sqrt[30]{15625}$

由于真数大小满足：$15625<32768<59049$， 即 $\sqrt[5]{5}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$。 So $c<a<b$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单峰函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的极值与单调性应用、指数与对数的大小比较规律。
2. 核心方法：构造函数单调性法、换底/换幂通分法。
3. 避坑指南：

• 极易因 $2<3<5$ 的直观顺序，而错误地认为在 $(0,+\infty )$ 上其大小也具有单调性。
• 使用导数法时，由于 2 在 $e$ 的左侧，3 和 5 在 $e$ 的右侧，单调性不一致，无法直接一次性得出三者关系，必须通过二次比较（如通分真数）来确定 2 与 5 的相对大小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学中研究经典函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 极值特征的基础模型，也是高考中关于“构造函数比较大小”这一高频考点的鼻祖题型。
2. 结论推广：函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 在 $x=e$ 处取得全局最大值 $f(e)=\frac{1}{e}$。该模型常用于证明超越不等式（如 $x^e\le e^x$ 恒成立），或者通过变形 $x^{\frac{1}{x}}$ 转化为比较 $2^{\frac{1}{2}},3^{\frac{1}{3}},5^{\frac{1}{5}}$ 的大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)