2005-全国卷III理-03 单-二项式定理

本题导读

本题核心考查二项式定理的应用。通过多项式乘法的分配律，将复杂的组合式拆分为两个标准二项式展开项，再利用通项公式分别求出指定幂次的系数并作代数和。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 在 $(x-1)(x+1{)}^8$ 的展开式中 $x^5$ 的系数是()

A. -14　　　　　　B. 14　　　　　　C. -28　　　　　　D. 28

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用分配律将原式展开写为 $x(x+1{)}^8-(x+1{)}^8$ 的形式。
2. 寻找 $x^5$ 的系数，等价于求 $x(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 的系数（即 $(x+1{)}^8$ 中 $x^4$ 的系数）与 $-(x+1{)}^8$ 中 $x^5$ 的系数之和。
3. 利用二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{x}^r$ 分别求出组合数，最后相减得出结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一： 根据多项式乘法的分配律，可将原式变形为： $(x-1)(x+1{)}^8=x(x+1{)}^8-(x+1{)}^8$

二项式 $(x+1{)}^8$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_8^r{x}^r$

• 对于第一项 $x(x+1{)}^8$，要得到 $x^5$ 的项，需要 $(x+1{)}^8$ 贡献出 $x^4$ 的项，此时 $r=4$，其系数为 $C_8^4$；
• 对于第二项 $-(x+1{)}^8$，要得到 $x^5$ 的项，需要 $(x+1{)}^8$ 贡献出 $x^5$ 的项，此时 $r=5$，其系数为 $-C_8^5$。

因此，在原展开式中 $x^5$ 的系数为： $C_8^4-C_8^5$

计算组合数的值： $C_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$ $C_8^5=C_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$

则 $x^5$ 的系数为 $70-56=14$。

解法二： 利用平方差公式进行结构转化： $(x-1)(x+1{)}^8=(x-1)(x+1)(x+1{)}^7=(x^2-1)(x+1{)}^7=x^2(x+1{)}^7-(x+1{)}^7$

根据二项式通项公式，

• $x^2(x+1{)}^7$ 中 $x^5$ 的系数等于 $(x+1{)}^7$ 中 $x^3$ 的系数，即 $C_7^3$；
• $-(x+1{)}^7$ 中 $x^5$ 的系数等于 $-C_7^5$。

故 $x^5$ 的系数为： $C_7^3-C_7^5=C_7^3-C_7^2=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}-\frac{7\times 6}{2\times 1}=35-21=14$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：化整体为局部的分流计数。
3. 避坑指南：在转换 $x(x+1{)}^8$ 时，切记外乘的 $x$ 会使内层幂次提升 1 次，因此只需找内层 4 次项；同时，注意第二项前面的负号不能遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考中对“二项式定理”考查的最经典中低档题型，通常通过外置一个低次多项式来破坏单一二项式结构，测验考生的拆分与合并能力。
2. 结论推广：在 $(x-a)(x+b{)}^n$ 的展开式中，$x^k$ （$1\le k\le n$）的系数通用计算公式为：$C_n^{k-1}{b}^{n-k+1}-a{C}_n^k{b}^{n-k}$。

🔗【关联脉络】

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