2005-全国卷III理-01 单-象限角的概念与弧度制表示

本题导读

本题核心考查由已知角的象限确定其半角所在象限的方法。通过将象限角转化为含有通值周期的代数不等式，利用整数的奇偶性进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知 $\alpha$ 为第三象限角，则 $\frac{\alpha }{2}$ 所在的象限是()

A. 第一或第二象限　　　　　　　　　　　　　B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限　　　　　　　　　　　　　D. 第二或第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据第三象限角的基本定义，写出角 $\alpha$ 带有通用周期 $2k\pi$ 的不等式范围。
2. 不等式各边同除以 2 得到 $\frac{\alpha }{2}$ 的范围，对整数 $k$ 的奇偶性分情况展开分析，从而确定终边所在的象限。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 为第三象限角，所以有： $\pi +2k\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$

各边同时除以 2 得： $\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

对 $k$ 的奇偶性进行分类讨论： ① 当 $k$ 为偶数时，设 $k=2m$ ($m\in \mathbb{Z}$)，代入得： $\frac{\pi }{2}+2m\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+2m\pi$ 此时 $\frac{\alpha }{2}$ 的终边落在第二象限；

② 当 $k$ 为奇数时，设 $k=2m+1$ ($m\in \mathbb{Z}$)，代入得： $\frac{\pi }{2}+(2m+1)\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+(2m+1)\pi ⟹\frac{3\pi }{2}+2m\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{7\pi }{4}+2m\pi$ 此时 $\frac{\alpha }{2}$ 的终边落在第四象限。

综上所述，$\frac{\alpha }{2}$ 所在的象限是第二或第四象限。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：终边相同角的集合表示、三角自变量缩放时的周期性变化。
2. 核心方法：代数范围约束法、整数奇偶分流法。
3. 避坑指南：极易忽略通用周期 $2k\pi$ 的存在，仅由 $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ 盲目得出 $\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}$ 从而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“任意角”章节的经典基础习题，考查学生对角度集合化描述的扎实度，用以消除只看一周期而漏解的常见思维片面性。
2. 结论推广：已知 $\alpha$ 为第 $N$ 象限角，求解 $\frac{\alpha }{n}$ （$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）所在象限的通用方法为“象限等分法”：将每个象限均等分为 $n$ 份（全平面共 $4n$ 个区域），从第一象限始逆时针依次给各区域编号，所有满足编号除以 $n$ 的余数为 $N$（若余数为 0 则看作整除）的区域，即为 $\frac{\alpha }{n}$ 所有可能的分布位置。

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