2005-全国卷III文-20 解-等差中项与等比子列

本题导读

本题考查等差数列、等差中项与等比数列。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，公差 $d\ne 0$，$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项．已知数列 $a_1$，$a_3$，$a_{k_1}$，$a_{k_2}$，$\cdots$，$a_{k_n}$，$\cdots$ 成等比数列，求数列 $\{k_n\}$ 的通项 $k_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由等差数列通项 $a_2=a_1+d$，$a_4=a_1+3d$。
2. ”$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项”要求 $2a_2=a_1+a_4$。
3. 代入得 $2(a_1+d)=a_1+(a_1+3d)$，即 $d=0$，与题设 $d\ne 0$ 矛盾。

✅【答案】

Success

按题面字面条件，不存在满足题设的等差数列，$\{k_n\}$ 的通项不存在（原卷此处“$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项”与 $d\ne 0$ 矛盾，系排印错误；若更正为“等比中项”，则 $a_1=d$，$k_n=3^{n+1}$）

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列通项公式，$a_2=a_1+d$，$a_4=a_1+3d$． 题设”$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项”要求 $2a_2=a_1+a_4$，即 $2(a_1+d)=a_1+(a_1+3d)$，化简得 $d=0$，这与题设 $d\ne 0$ 矛盾． 因此按题面字面条件，不存在满足题设的等差数列，后续所述等比数列及数列 $\{k_n\}$ 也不存在，无法推出 $\{k_n\}$ 的通项． 【注】本题系 2005 年全国III 卷文、理科共同的排印错误：条件”$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项”与”公差 $d\ne 0$“互相矛盾，官方答案册亦明确”按原题字面无法得到 $k_n$ 的通项”，故如实记录为”不存在”。

【补充】若按原卷本意把“等差中项”更正为“等比中项”：由 $a_2^2=a_1{a}_4$ 得 $(a_1+d{)}^2=a_1(a_1+3d)$，即 $d(d-a_1)=0$，结合 $d\ne 0$ 得 $a_1=d$，故 $a_n=n{a}_1$。此时数列 $a_1,a_3,a_{k_1},\cdots$ 的第 $m$ 项为 $a_1\cdot 3^{m-1}$；$a_{k_n}$ 是该数列的第 $n+2$ 项，故 $k_n{a}_1=a_1\cdot 3^{n+1}$，即 $k_n=3^{n+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差中项与等比子列

核心方法：由”$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等差中项”得 $2a_2=a_1+a_4\Rightarrow d=0$，与 $d\ne 0$ 矛盾，故按题面不存在满足条件的等差数列

避坑指南：此题系原卷排印错误（文理同错）：$a_2$ 为 $a_1,a_4$ 等差中项必然 $d=0$，与题设矛盾；官方答案册明确”按原题字面无法得到 $k_n$ 通项”，勿强行编造

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中项与等比子列是数列综合题（原卷错题）

结论推广：等差中项 $2a_2=a_1+a_4$ 必然导出 $d=0$

方法推广：遇到题干矛盾先判定是否错题，勿强行求解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合
• 2010-大纲Ⅰ文-15 填-选课计数