2005-全国卷III文-09 单-双曲线焦点向量求距离

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与焦点，以及向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 已知双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 的焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $M$ 在双曲线上且 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=1,b^2=2$，故 $c^2=3$，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$。
2. 设 $M(x,y)$，$\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=(-\sqrt{3}-x,-y)\cdot (\sqrt{3}-x,-y)=x^2+y^2-3=0$。
3. 与 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 联立得 $y^2=\frac{4}{3}$，故 $|y|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程知 $a^2=1$，$b^2=2$，故 $c^2=a^2+b^2=3$，焦点可取 $F_1(-\sqrt{3},0)$、$F_2(\sqrt{3},0)$． 设 $M(x,y)$，则 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=(-\sqrt{3}-x,-y)\cdot (\sqrt{3}-x,-y)=x^2+y^2-3=0$． 又 $M$ 在双曲线上，$x^2-\frac{y^2}{2}=1$． 联立得 $x^2=\frac{5}{3}$，$y^2=\frac{4}{3}$，故点 $M$ 到 $x$ 轴的距离为 $|y|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点向量求距离

核心方法：$a^2=1,b^2=2,c^2=3$，焦点 $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$；$\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=x^2+y^2-3=0$ 与 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 联立得 $y^2=\frac{4}{3}$，$|y|=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：向量点积为零得 $x^2+y^2=3$（$M$ 在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上）；与双曲线联立求 $|y|$，别漏开平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦点向量点积是综合题

结论推广：点积为零 $\Rightarrow$ 点在以两焦点为直径的圆上

方法推广：联立圆与双曲线方程求坐标

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2009-大纲Ⅰ文-05 单-双曲线渐近线离心率