2005-全国卷III文-06 单-对数作商比较大小

本题导读

本题考查对数的性质与对数值的大小比较。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 若 $a=\frac{\ln 2}{2}$，$b=\frac{\ln 3}{3}$，$c=\frac{\ln 5}{5}$，则()

A. $a<b<c$　　　　　B. $c<b<a$　　　　　C. $c<a<b$　　　　　D. $b<a<c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 比较 $a,b$：$3\ln 2<2\ln 3⟺\ln 8<\ln 9$，成立，故 $a<b$。
2. 比较 $a,c$：$2\ln 5<5\ln 2⟺\ln 25<\ln 32$，成立，故 $c<a$。
3. 综上 $c<a<b$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

比较 $a$ 与 $b$：$3\ln 2<2\ln 3⟺8<9$，故 $a<b$． 比较 $a$ 与 $c$：$2\ln 5<5\ln 2⟺25<32$，故 $c<a$． 因此 $c<a<b$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数作商比较大小

核心方法：$3\ln 2<2\ln 3⟺8<9$ 得 $a<b$；$2\ln 5<5\ln 2⟺25<32$ 得 $c<a$；故 $c<a<b$

避坑指南：同乘分母化为比较幂的大小；$c<a<b$，别把 $a,b$ 顺序排错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数作商比较大小是常考选择

结论推广：$\frac{\ln 2}{2}$ 型可化为比较 $2^5$ 与 $5^2$ 等幂

方法推广：同乘分母（正）化为幂的大小比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-04 单-指对数单调性比较
• 2008-山东文-15 填-对数换底与求和