2005-全国卷III文-01 单-半角所在象限判断

本题导读

本题考查象限角与角所在范围的判定。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 已知 $\alpha$ 为第三象限角，则 $\frac{\alpha }{2}$ 所在的象限是()

A. 第一或第二象限　　　　　　　　　　　　　B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限　　　　　　　　　　　　　D. 第二或第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第三象限角满足 $\pi +2k\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。
2. 两边同除以 $2$：$\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+k\pi$。
3. $k$ 为偶数时 $\frac{\alpha }{2}$ 在第二象限，$k$ 为奇数时在第四象限。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第三象限角满足 $\pi +2k\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，其中 $k\in \mathbf{Z}$． 两边同除以 $2$，得 $\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+k\pi$． 当 $k$ 为偶数时，$\frac{\alpha }{2}$ 在第二象限；当 $k$ 为奇数时，$\frac{\alpha }{2}$ 在第四象限． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半角所在象限判断

核心方法：第三象限角 $\pi +2k\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}+2k\pi$，两边除以 $2$ 得 $\frac{\pi }{2}+k\pi <\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}+k\pi$，$k$ 偶在第二、奇在第四

避坑指南：半角所在象限要分 $k$ 的奇偶讨论；$\frac{\alpha }{2}$ 落在第二或第四象限，别误判为第一或第三

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：半角象限判断是 2005 全国III 卷的送分起点

结论推广：若 $\alpha$ 在第三象限，则 $\frac{\alpha }{2}$ 在第二或第四象限

方法推广：写出 $\alpha$ 范围后除以 $2$，分 $k$ 奇偶讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值