2005-全国卷II理-20 解-空间直角坐标系

本题导读

本题核心考查空间向量在立体几何中的应用。通过建立空间直角坐标系，将线面垂直的判定转化为向量的数量积运算，将线面角的求解转化为向量夹角公式的计算。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PD\perp$ 底面 $ABCD$，$AD=PD$，$E、F$ 分别为 $CD、PB$ 的中点.

(1)求证：$EF\perp$ 平面 $PAB$；

(2)设 $AB=\sqrt{2}BC$，求 $AC$ 与平面 $AEF$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ 且底面为矩形，可知 $DA,DC,DP$ 两两垂直。以此建立空间直角坐标系，设出各点坐标。
2. 第二步逻辑：求出向量 $\overrightarrow{EF}$ 以及平面 $PAB$ 内两个不共线向量的坐标，通过证明数量积为 0，从而论证线面垂直。
3. 第三步逻辑：代入 $AB=\sqrt{2}BC$ 的条件，求出平面 $AEF$ 的法向量，利用线面角公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AC}||\vec{n}|}$ 计算线面角的大小。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：因 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $ABCD$ 为矩形，则 $DA,DC,DP$ 两两垂直。 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,DP$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设 $BC=AD=PD=b$，$AB=CD=a$。 各点坐标为： $D(0,0,0),A(b,0,0),C(0,a,0),B(b,a,0),P(0,0,b)$ 因 $E,F$ 分别为 $CD,PB$ 的中点，可得： $E\left(0,\frac{a}{2},0\right),F\left(\frac{b}{2},\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right)$

（1）证明： 由上述坐标可得位移向量： $\overrightarrow{EF}=\left(\frac{b}{2},0,\frac{b}{2}\right)$ 平面 $PAB$ 内的两个相交向量为： $\overrightarrow{AB}=(0,a,0),\overrightarrow{AP}=(-b,0,b)$

计算数量积： $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{b}{2}\times 0+0\times a+\frac{b}{2}\times 0=0⟹EF\perp AB$ $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{AP}=\frac{b}{2}\times (-b)+0\times 0+\frac{b}{2}\times b=0⟹EF\perp AP$ 因为 $AB\cap AP=A$ 且 $AB,AP\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $EF\perp$ 平面 $PAB$。

（2）解： 若 $AB=\sqrt{2}BC$，即 $a=\sqrt{2}b$。不妨设 $b=1$，则 $a=\sqrt{2}$。 此时相关点坐标为： $A(1,0,0),C(0,\sqrt{2},0),E\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),F\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$ 可得平面 $AEF$ 内的两个向量： $\overrightarrow{AE}=\left(-1,\frac{\sqrt{2}}{2},0\right),\overrightarrow{AF}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$

设平面 $AEF$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AE}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0\\ -\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{1}{2}z=0\end{array}$ 解得 $y=\sqrt{2}x$，$z=-x$。 令 $x=1$，得平面 $AEF$ 的一个法向量 $\vec{n}=(1,\sqrt{2},-1)$。

已知 $\overrightarrow{AC}=(-1,\sqrt{2},0)$。 设 $AC$ 与平面 $AEF$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|-1\times 1+\sqrt{2}\times \sqrt{2}+0\times (-1)|}{\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+0^2}\times \sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}\times 2}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

所以，$AC$ 与平面 $AEF$ 所成角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的向量证明条件（与平面内两相交向量均垂直）、线面角向量公式的应用。
2. 核心方法：建系坐标法。利用图形天然的垂直结构建立空间直角坐标系进行代数化求解。
3. 避坑指南：

• 第一问计算数量积时，务必写清与平面内两个相交向量分别垂直，不可只算一个。
• 第二问求得正弦值后，最终结论需转化为角的大小（用反三角函数表示），切勿误写为余弦值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于立体几何大题的第一代数形结合标准模型。规避了复杂的传统几何“作、证、算”步骤，体现了新课标引入空间向量后对降低几何推导难度的命题取向。
2. 结论推广：在四棱锥 $P-ABCD$ 中，若底面 $ABCD$ 为矩形，$PD\perp$ 底面，$AD=PD$，对任意 $CD$ 上的中点 $E$ 与 $PB$ 上的中点 $F$，$EF$ 恒垂直于平面 $PAB$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)