2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布

本题导读

本题核心考查离散型随机变量的概率分布列与数学期望的求解。在“五局三胜制”模型下，需要准确识别出比赛结束时各局胜负的先后关系（尤其是最后一局必由胜者拿下），从而进行分类讨论并准确计数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 甲、乙两队进行一场排球比赛. 根据以往经验, 单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6. 本场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束. 设各局比赛相互间没有影响. 令 $\xi$ 为本场比赛的局数, 求 $\xi$ 的概率分布和数学期望. (精确到 0.0001)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析随机变量 $\xi$ 的所有可能取值，显然“五局三胜制”比赛的局数 $\xi$ 可取 3, 4, 5。
2. 分别计算当 $\xi =3,4,5$ 时的概率：结束于第 $n$ 局的本质是前 $n-1$ 局中获胜队赢了 2 局，且第 $n$ 局由该队胜出。
3. 列出概率分布列，并使用数学期望定义公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算期望值。

✅【答案】

Success

$P(\xi =3)=0.2800，P(\xi =4)=0.3744，P(\xi =5)=0.3456，E\xi =\mathrm{4.0656.}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，本场比赛的局数 $\xi$ 的所有可能取值为 3, 4, 5。 单局比赛中，甲队获胜的概率为 $p=0.6$，则乙队获胜的概率为 $q=1-0.6=0.4$。

① 当 $\xi =3$ 时，表示比赛在 3 局内结束，即甲队 3-0 获胜或乙队 3-0 获胜： $P(\xi =3)=0.6^3+0.4^3=0.216+0.064=0.28$

② 当 $\xi =4$ 时，表示比赛在 4 局结束，即前 3 局中某队赢了 2 局，且第 4 局该队获胜：

• 甲队在第 4 局获胜结赛：$C_3^2\times 0.6^2\times 0.4\times 0.6=0.2592$
• 乙队在第 4 局获胜结赛：$C_3^2\times 0.4^2\times 0.6\times 0.4=0.1152$ $P(\xi =4)=0.2592+0.1152=0.3744$

③ 当 $\xi =5$ 时，表示比赛打满 5 局，其本质是前 4 局双方打成 2-2 平手： $P(\xi =5)=C_4^2\times 0.6^2\times 0.4^2=6\times 0.36\times 0.16=0.3456$

因此，$\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	3	4	5
$P$	0.28	0.3744	0.3456

$\xi$ 的数学期望为： $E(\xi )=3\times 0.28+4\times 0.3744+5\times 0.3456$ $=0.84+1.4976+1.728=4.0656$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验（伯努利试验）的变形应用、离散型随机变量的分布列与期望。
2. 核心方法：末局锁定法。在体育比赛多局胜负模型中，比赛在第 $n$ 局结束的充要条件是“最后一局必由最终获胜方赢下，前 $n-1$ 局该方恰好赢下需要的局数减 1”。
3. 避坑指南：计算 $\xi =4$ 或 $\xi =5$ 时的概率，极易错误套用独立的二项分布公式（例如错把 $\xi =4$ 算成 $C_4^3{p}^{3}q$），这忽视了如果前 3 局就已经是 3-0，比赛就不会打第 4 局的实际终止约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于巴拿赫火柴盒问题（Banach’s matchbox problem）在有限局数体育赛事中的具体应用，属于经典的负二项分布（Negative Binomial Distribution）有限截断模型。
2. 结论推广：在 $(2m-1)$ 局 $m$ 胜制的独立比赛中，若单局胜率为 $p$，则比赛恰好在第 $n$ 局（$m\le n\le 2m-1$）结束的概率公式为：$P(\xi =n)=C_{n-1}^{m-1}[p^m(1-p{)}^{n-m}+(1-p{)}^m{p}^{n-m}]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)