2005-全国卷II理-18 解-等差数列与等比数列的通项公式

本题导读

本题核心考查等差数列与等比数列的综合判定及无穷等比级数的求和。解题关键在于利用对数运算转化等差关系，并通过无穷级数的收敛判定完成合理分流。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)）已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列， $l g a_{1}$ 、 $l g a_{2}$ 、 $l g a_{4}$ 成等差数列. 又 $b_{n} = \frac{1}{a _{2^{n}}}$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .

(1)证明 ${b_{n}}$ 为等比数列；

(2)如果无穷等比数列 ${b_{n}}$ 各项的和 $S = \frac{1}{3}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 和公差 $d$ . 注：无穷数列各项的和即当 $n \to \infty$ 时数列前 $n$ 项和的极限.

🔍【思路分析】

破题导航

依题意利用等差中项性质列出对数方程，化简为 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$ ，代入等差数列通项公式求出 $d = 0$ 或 $d = a_{1}$ 。

计算比值 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ ，说明其在两种情况下均对应常数，从而完成等比数列的证明。

结合无穷等比级数收敛的充要条件 $∣ q ∣ < 1$ 排除 $d = 0$ 的情况，再通过无穷求和公式 $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ 求解 $a_{1}$ 与 $d$ 。

✅【答案】

Success

对任意情况， $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ 均为常数，故 ${b_{n}}$ 为等比数列

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。因为 $l g a_{1}$ 、 $l g a_{2}$ 、 $l g a_{4}$ 成等差数列，所以 $2 l g a_{2} = l g a_{1} + l g a_{4} ⟹ l g a_{2}^{2} = l g (a_{1} a_{4})$ 。由此可得： $a_{2}^{2} = a_{1} a_{4}$

将 $a_{2} = a_{1} + d$ ， $a_{4} = a_{1} + 3 d$ 代入上式得： $(a_{1} + d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 3 d) ⟹ a_{1}^{2} + 2 a_{1} d + d^{2} = a_{1}^{2} + 3 a_{1} d$ 整理得： $d^{2} - a_{1} d = 0 ⟹ d (d - a_{1}) = 0$ 解得 $d = 0$ 或 $d = a_{1}$ 。

① 当 $d = 0$ 时，对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n} = a_{1}$ ，则 $a_{2^{n}} = a_{1}$ 。此时 $b_{n} = \frac{1}{a _{1}}$ ，则 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = 1$ （常数）。 ② 当 $d = a_{1}$ 时， $a_{n} = a_{1} + (n - 1) a_{1} = n a_{1}$ ，则 $a_{2^{n}} = 2^{n} a_{1}$ 。此时 $b_{n} = \frac{1}{2 ^{n} a _{1}}$ ，则 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{2 ^{n} a _{1}}{2 ^{n + 1} a _{1}} = \frac{1}{2}$ （常数）。

综上所述，对任意情况， $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ 均为常数，故 ${b_{n}}$ 为等比数列。

（2）解：由（1）可知， ${b_{n}}$ 的公比 $q$ 只能为 1 或 $\frac{1}{2}$ 。因为无穷等比级数各项的和 $S$ 存在有限极限，所以公比 $q$ 必须满足 $∣ q ∣ < 1$ 。由此排除 $q = 1$ （即 $d = 0$ 的情形），故必有 $d = a_{1}$ 。

此时公比 $q = \frac{1}{2}$ ，首项 $b_{1} = \frac{1}{2 a _{1}}$ 。根据无穷等比级数求和公式得： $S = \frac{b _{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2 a _{1}}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{a _{1}}$

已知 $S = \frac{1}{3}$ ，所以 $\frac{1}{a _{1}} = \frac{1}{3} ⟹ a_{1} = 3$ 。由于 $d = a_{1}$ ，故公差 $d = 3$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差中项与对数性质、等比数列的定义式验证、无穷递缩等比级数的求和。

核心方法：分类讨论思想。

避坑指南：

第（1）问中，容易漏掉 $d = 0$ 导致等比数列的分类证明不完整。

第（2）问中，必须明确写出利用级数收敛性 $∣ q ∣ < 1$ 过滤掉 $q = 1$ （ $d = 0$ ）这一步，否则扣除逻辑分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自课本中关于等比数列判定和对数方程求解的基础演练，在结尾引入了当时大纲版教材中的“无穷等比级数”内容，考查初等极限思想。

结论推广：若正数等差数列满足 $l g a_{1}, l g a_{2}, l g a_{k}$ （ $k > 2$ ）成等差数列，则可推得 $d = \frac{k - 4}{2} a_{1}$ 或 $d = 0$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

04.01 指数与对数运算

19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

∑ ( Math )

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