2005-全国卷II理-14 填-三倍角公式与二倍角公式

本题导读

本题核心考查三角函数求值与恒等变换。通过三倍角公式将已知分式化简为含单角正弦平方的代数式，结合象限符号求出单角的三角函数值，最终利用二倍角公式求解正切值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 设 $\alpha$ 为第四象限的角，若 $\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=\frac{13}{5}$，则 $\tan 2\alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用三倍角公式 $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$ 化简已知等式，求出 ${\sin }^2\alpha$ 和 ${\cos }^2\alpha$。
2. 根据 $\alpha$ 所在的第四象限性质确定 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的正负号，求出 $\tan \alpha$ 的值。
3. 利用二倍角的正切公式求出 $\tan 2\alpha$。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

根据三倍角公式，有 $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$。 代入已知等式得： $\frac{3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha }{\sin \alpha }=\frac{13}{5}$

因为 $\alpha$ 为第四象限角，所以 $\sin \alpha \ne 0$，两边约去 $\sin \alpha$ 得： $3-4{\sin }^2\alpha =\frac{13}{5}$ $4{\sin }^2\alpha =3-\frac{13}{5}=\frac{2}{5}⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1}{10}$

由同角三角函数基本关系式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得： ${\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

因为 $\alpha$ 为第四象限的角，所以 $\sin \alpha <0$，$\cos \alpha >0$。 解得： $\sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}，\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}$

则单角的正切值为： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{1}{3}$

根据二倍角正切公式，所求值为： $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times \left(-\frac{1}{3}\right)}{1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}=-\frac{3}{4}$

答案：$-\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三倍角公式、同角三角函数关系、二倍角正切公式。
2. 核心方法：公式代数法与符号判定法。
3. 避坑指南：

• 忽略象限符号：开方求 $\sin \alpha$ 时必须紧扣“第四象限”条件判定正负，不可漏掉负号。
• 二倍角公式记忆模糊：注意分母为 $1-{\tan }^2\alpha$，切勿记成 $1+{\tan }^2\alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对三角函数基本公式链条化考查的传统中档题，通过多步公式桥接检测考生的代数推导与符号判断能力。
2. 结论推广：对于已知 $\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=k$ ($k\in \mathbb{R}$)，可求得 ${\sin }^2\alpha =\frac{3-k}{4}$，${\cos }^2\alpha =\frac{1+k}{4}$。其二倍角余弦值满足通用关系式 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\frac{k-1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.06 三倍角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

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