2005-全国卷II理-13 填-点到直线的距离公式

本题导读

本题核心考查圆的标准方程的确定。通过直线与圆相切的几何性质，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，从而写出圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 圆心为 $(1,2)$ 且与直线 $5x-12y-7=0$ 相切的圆的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用圆与直线相切的充要条件，即圆心到切线的距离等于圆的半径 $r$。
2. 运用点到直线的距离公式计算出半径 $r$ 的值。
3. 结合给定的圆心坐标，写出圆的标准方程。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

设圆的半径为 $r$。 因为圆与直线 $5x-12y-7=0$ 相切，所以圆心 $(1,2)$ 到该直线的距离等于圆的半径 $r$。

根据点到直线的距离公式，计算得： $r=\frac{|5\times 1-12\times 2-7|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}$ $r=\frac{|5-24-7|}{\sqrt{25+144}}=\frac{|-26|}{\sqrt{169}}=\frac{26}{13}=2$

得半径平方 $r^2=4$。 已知圆心为 $(1,2)$，根据圆的标准方程格式 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$，所求圆的方程为： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$

答案：$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$、圆的标准方程。
2. 核心方法：几何法（利用 $d=r$ 处理直线与圆的位置关系）。
3. 避坑指南：

• 在计算距离公式时，分子应带有绝对值符号，避免运算出负数。
• 写最终方程时，注意圆的标准方程右侧是 $r^2$（即 4），而非 $r$（即 2）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中解析几何“直线与圆的位置关系”章节的基础课后习题，是高考对基础公式记忆与简单应用能力的直接考查。
2. 结论推广：已知圆心为 $(x_0,y_0)$，且与直线 $Ax+By+C=0$ 相切，该圆的标准方程通用通式为：$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=\frac{(A{x}_0+B{y}_0+C{)}^2}{A^2+B^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)