2005-全国卷II理-11 单-等差数列的通项性质

本题导读

本题核心考查等差数列的内在性质以及代数式的大小比较。利用等差数列中下标和相等的项之和也相等的固有规律，结合基本量作差法判定乘积项的大小。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)）如果 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 为各项都大于零的等差数列，公差 $d \neq = 0$ ，则()

A. $a_{1} a_{8} > a_{4} a_{5}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a_{1} a_{8} < a_{4} a_{5}$

C. $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 　　　　　　　　　　　　　D. $a_{1} a_{8} = a_{4} a_{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

根据等差数列的性质，若下标满足 $i + j = k + l$ ，则必有 $a_{i} + a_{j} = a_{k} + a_{l}$ ，据此直接排除 C 选项。

运用基本量法，将 $a_{4}, a_{5}, a_{8}$ 均用首项 $a_{1}$ 与公差 $d$ 展开表示。

计算 $a_{4} a_{5}$ 与 $a_{1} a_{8}$ 并作差，通过差值的符号得出二者的大小关系。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在等差数列中，若项的下标满足 $i + j = k + l$ ，则有 $a_{i} + a_{j} = a_{k} + a_{l}$ 。因为 $1 + 8 = 4 + 5 = 9$ ，所以 $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ 恒成立，故 C 选项错误。

设该等差数列的公差为 $d$ ( $d \neq = 0$ )，由通项公式将各相关项统一转化为首项与公差的代数式： $a_{4} = a_{1} + 3 d$ $a_{5} = a_{1} + 4 d$ $a_{8} = a_{1} + 7 d$

分别计算 $a_{4} a_{5}$ 与 $a_{1} a_{8}$ 的表达式： $a_{4} a_{5} = (a_{1} + 3 d) (a_{1} + 4 d) = a_{1}^{2} + 7 d a_{1} + 12 d^{2}$ $a_{1} a_{8} = a_{1} (a_{1} + 7 d) = a_{1}^{2} + 7 d a_{1}$

使用作差法比较两个乘积式的大小： $a_{4} a_{5} - a_{1} a_{8} = (a_{1}^{2} + 7 d a_{1} + 12 d^{2}) - (a_{1}^{2} + 7 d a_{1}) = 12 d^{2}$

因为公差 $d \neq = 0$ ，所以 $d^{2} > 0$ ，从而有： $12 d^{2} > 0 ⟹ a_{4} a_{5} - a_{1} a_{8} > 0 ⟹ a_{1} a_{8} < a_{4} a_{5}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的下标对称性质、代数式作差法判定不等关系。

核心方法：基本量展开法。

避坑指南：避免仅凭直觉误选 D。等差数列中虽有“和相等”的性质，但“积相等”通常不成立，需进行定量化展开再做准确比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于教材中等差数列通项公式的基本应用。该模型将数列的局部和与二次项乘积交汇，属于考查不等式比较大小的常规题。

结论推广：在各项均为正数的等差数列中，若 $i + j = k + l$ 且 $∣ i - j ∣ > ∣ k - l ∣$ ，则根据均值不等式（和定积大）或代数展开，可直接推广出通用结论： $a_{i} a_{j} < a_{k} a_{l}$ 。

🔗【关联脉络】

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19.01 等差数列全总结

03.01 不等式解法体系

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2005-全国卷II理-11 单-等差数列的通项性质

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