2005-全国卷II文-19 解-对等差构等比数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的判定，以及对数运算。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等差数列，$\lg a_1$、$\lg a_2$、$\lg a_4$ 成等差数列．又 $b_n=\frac{1}{a_{2^n}}$，$n=1,2,3,\cdots$．

(1)证明 $\{b_n\}$ 为等比数列；

(2)如果数列 $\{b_n\}$ 前 $3$ 项的和等于 $\frac{7}{24}$，求数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 和公差 $d$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公差 $d$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$。
2. 由 $\lg a_1,\lg a_2,\lg a_4$ 成等差得 $2\lg a_2=\lg a_1+\lg a_4$，即 $a_2^2=a_1{a}_4$。
3. 代入得 $d(d-a_1)=0$，分两类讨论并验证 $b_n$ 为等比，再解 $a_1$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析；(2) $a_1=d=3$ 或 $a_1=\frac{72}{7}$、$d=0$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$． 由 $\lg a_1,\lg a_2,\lg a_4$ 成等差数列，得 $2\lg a_2=\lg a_1+\lg a_4$，即 $\lg a_2^2=\lg (a_1{a}_4)$，故 $a_2^2=a_1{a}_4$． 代入通项得 $(a_1+d{)}^2=a_1(a_1+3d)$，整理得 $d(d-a_1)=0$，即 $d=0$ 或 $d=a_1$． （1）当 $d=0$ 时 $a_n=a_1$，$b_n=\frac{1}{a_{2^n}}=\frac{1}{a_1}$ 为常数列，公比 $1$，是等比数列； 当 $d=a_1$ 时 $a_n=n{a}_1$，$a_{2^n}=2^n{a}_1$，故 $b_n=\frac{1}{2^n{a}_1}=\frac{1}{a_1}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$，公比 $\frac{1}{2}$，是等比数列． （2）当 $d=0$ 时 $b_1+b_2+b_3=\frac{3}{a_1}=\frac{7}{24}$，得 $a_1=\frac{72}{7}$，此时 $d=0$； 当 $d=a_1$ 时 $b_1+b_2+b_3=\frac{1}{2a_1}+\frac{1}{4a_1}+\frac{1}{8a_1}=\frac{7}{8a_1}=\frac{7}{24}$，得 $a_1=3$，此时 $d=3$． 故 $a_1=\frac{72}{7},d=0$，或 $a_1=d=3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对等差构等比数列

核心方法：$2\lg a_2=\lg a_1+\lg a_4\Rightarrow a_2^2=a_1{a}_4\Rightarrow d(d-a_1)=0$，即 $d=0$ 或 $d=a_1$；分别得 $b_n$ 为等比（公比 $1$ 或 $\frac{1}{2}$），再解 $a_1$

避坑指南：两组解都要保留：$d=0$ 时 $a_1=\frac{72}{7}$，$d=a_1$ 时 $a_1=d=3$；别只保留非零公差一组

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对等差数列取对数构等比是数列综合题

结论推广：由 $a_2^2=a_1{a}_4$ 推 $d(d-a_1)=0$，分两类讨论

方法推广：多解情形不要漏解，逐类验证 $b_n$ 是否为等比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-17 解-解三角形求边周长
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合