2005-全国卷II文-12 单-线面角求距离

本题导读

本题考查直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） $△ABC$ 的顶点 $B$ 在平面 $\alpha$ 内，$A$、$C$ 在 $\alpha$ 的同一侧，$AB$、$BC$ 与 $\alpha$ 所成的角分别是 $30^{\circ }$ 和 $45^{\circ }$．若 $AB=3$，$BC=4\sqrt{2}$，$AC=5$，则 $AC$ 与 $\alpha$ 所成的角为()

A. $60^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $30^{\circ }$　　　　　　　D. $15^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $A,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $h_A,h_C$。
2. 由线面角定义 $h_A=AB\sin 30^{\circ }=\frac{3}{2}$，$h_C=BC\sin 45^{\circ }=4$。
3. $A,C$ 同侧，$AC$ 的垂直分量为 $|h_C-h_A|=\frac{5}{2}$；设 $AC$ 与 $\alpha$ 成角 $\theta$，则 $AC\sin \theta =\frac{5}{2}$，得 $\sin \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =30^{\circ }$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

取 $B$ 为参考点，记点 $A,C$ 到平面 $\alpha$ 的距离分别为 $h_A,h_C$． 由线面角定义，$h_A=AB\sin 30^{\circ }=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$h_C=BC\sin 45^{\circ }=4\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=4$． 因 $A,C$ 在平面 $\alpha$ 同侧，$AC$ 的垂直分量为 $h_C-h_A=\frac{5}{2}$． 设 $AC$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$，则 $AC\sin \theta =\frac{5}{2}$，代入 $AC=5$ 得 $\sin \theta =\frac{1}{2}$，取锐角 $\theta =30^{\circ }$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面角求距离

核心方法：$h_A=AB\sin 30^{\circ }=\frac{3}{2}$，$h_C=BC\sin 45^{\circ }=4$，同侧垂直分量差 $h_C-h_A=\frac{5}{2}$；$\sin \theta =\frac{5/2}{5}=\frac{1}{2}$ 得 $\theta =30^{\circ }$

避坑指南：$A,C$ 同侧时 $AC$ 的垂直分量是两距离之差的绝对值 $\left|h_C-h_A\right|=\frac{5}{2}$；$\sin \theta =\frac{1}{2}$ 取锐角 $30^{\circ }$，别误用 $h_C+h_A$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角与点到平面距离的综合计算

结论推广：线面角正弦 $=$ 距离差 $/$ 斜线段长；同侧取差

方法推广：把 $A,C$ 到平面距离分别算，再按同侧/异侧取差或和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2009-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱线面角
• 2010-大纲Ⅰ文-09 单-正方体线面角