2005-全国卷II文-05 单-抛物线焦点距纵坐标

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及焦点与准线的应用。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 抛物线 $x^2=4y$ 上一点 $A$ 的纵坐标为 $4$，则点 $A$ 与抛物线焦点的距离为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $x^2=4y$ 中 $2p=4$，即 $p=2$，焦点 $F(0,1)$。
2. 抛物线上点到焦点距离等于到准线 $y=-1$ 的距离。
3. 点 $A$ 纵坐标为 $4$，到准线距离 $4+1=5$，故 $|AF|=5$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=4y$ 中 $2p=4$，即 $p=2$，焦点为 $F(0,1)$，准线为 $y=-1$． 点 $A$ 纵坐标为 $4$，代入 $x^2=4y$ 得 $x^2=16$，即 $A=(4,4)$ 或 $(-4,4)$． 由抛物线定义，$|AF|$ 等于 $A$ 到准线 $y=-1$ 的距离，即 $4-(-1)=5$． （也可直接 $|AF|=\sqrt{(\pm 4{)}^2+3^2}=5$） 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点距纵坐标

核心方法：$x^2=4y$ 中 $p=2$，焦点 $F(0,1)$；纵坐标 $4$ 得 $x^2=16$，$|AF|=\sqrt{16+9}=5$

避坑指南：抛物线上点到焦点距离 $=$ 到准线距离 $=$ 纵坐标加 $\frac{p}{2}$；这里 $4+\frac{p}{2}=4+1=5$，别误用横坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线焦半径公式 $|PF|=y_0+\frac{p}{2}$ 的典型应用

结论推广：抛物线上点到焦点距离等于到准线距离

方法推广：先由方程定 $p$ 与焦点坐标，再用焦半径公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-14 填-抛物线焦点三角形
• 2009-大纲Ⅱ文-11 单-抛物线焦半径定斜率