2005-全国卷II文-02 单-正方体截面形状判定

本题导读

本题考查正方体的截面形状与空间点线面位置关系。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P$、$Q$、$R$ 分别是 $AB$、$AD$、$B_1{C}_1$ 的中点．那么，正方体的过 $P$、$Q$、$R$ 的截面图形是()

A. 三角形　　　　B. 四边形　　　　C. 五边形　　　　D. 六边形

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正方体棱长为 $1$，建系 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$。
2. 得 $P\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$Q\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$R\left(1,\frac{1}{2},1\right)$。
3. 过三点的平面方程 $x+y-z=\frac{1}{2}$，与各棱求交点，共交六点，故截面为六边形。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

取正方体棱长为 $1$，设 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$A_1(0,0,1)$， 则 $P\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$Q\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$R\left(1,\frac{1}{2},1\right)$． 过 $P,Q,R$ 三点的平面方程为 $x+y-z=\frac{1}{2}$．它与正方体的边界相交于六点：底面上的 $P,Q$，棱 $B{B}_1$、$D{D}_1$ 上各一点，棱 $B_1{C}_1$ 上的点 $R$，以及顶面上除 $R$ 外的另一点，故截面为六边形． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截面形状判定

核心方法：建系 $A(0,0,0)$，$P\left(\frac{1}{2},0,0\right)$，$Q\left(0,\frac{1}{2},0\right)$，$R\left(1,\frac{1}{2},1\right)$，截面方程 $x+y-z=\frac{1}{2}$ 与六条棱相交得六边形

避坑指南：过三点截正方体要逐棱判断交点个数；本题交六点故为六边形，别想当然取三角形或四边形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：过正方体三点的截面形状是 2005-2007 年全国卷高频选择

结论推广：截面与 $n$ 条棱相交即为 $n$ 边形；判断时逐棱求交点

方法推广：建系写截面平面方程，与各棱求交点即得边数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2009-大纲Ⅱ文-12 单-正方体展开图