2005-全国卷I理-22 解-利用导数研究函数的

本题导读

本题第一问考查利用导数求一元函数的最值；第二问具有信息熵的隐性高等数学背景，考查利用数学归纳法将高维多元不等式的证明降维转化为第一问的一元函数最值模型。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） (1)设函数 $f(x)=x{\log }_{2}x+(1-x){\log }_2(1-x)$ ($0<x<1$)，求 $f(x)$ 的最小值；

(2)设正数 $p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_{2^n}$ 满足 $p_1+p_2+p_3+\cdots +p_{2^n}=1$，证明： $p_1{\log }_2{p}_1+p_2{\log }_2{p}_2+p_3{\log }_2{p}_3+\cdots +p_{2^n}{\log }_2{p}_{2^n}\ge -n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：求出 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$，通过令 $f^{\prime }(x)=0$ 找到极值点，结合单调性确定其在区间 $(0,1)$ 上的最小值。
2. 第二步逻辑：采用数学归纳法。当 $n=1$ 时，利用第一问结论直接证明；假设 $n=k$ 时成立，处理 $n=k+1$ 时，将 $2^{k+1}$ 项拆分为两组（每组 $2^k$ 项），引入每组权值和进行提公因式与归一化变形，利用假设与第一问结论完成递推证明。

✅【答案】

Success

对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，不等式均成立

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\left({\log }_{2}x+x\cdot \frac{1}{x\ln 2}\right)+\left(-{\log }_2(1-x)+(1-x)\cdot \frac{-1}{(1-x)\ln 2}\right)$ $f^{\prime }(x)={\log }_{2}x+\frac{1}{\ln 2}-{\log }_2(1-x)-\frac{1}{\ln 2}={\log }_2\frac{x}{1-x}$

令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $\frac{x}{1-x}=1⟹x=\frac{1}{2}$。

• 当 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right)$ 时，$\frac{x}{1-x}<1⟹f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in \left(\frac{1}{2},1\right)$ 时，$\frac{x}{1-x}>1⟹f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。

所以当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 取得极小值也是最小值： $f(x{)}_{\min }=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right){\log }_2\left(1-\frac{1}{2}\right)=-1$

（2）证明：用数学归纳法证明。 ① 当 $n=1$ 时，已知正数 $p_1,p_2$ 满足 $p_1+p_2=1$，则 $p_2=1-p_1$且 $0<p_1<1$。 左边 $=p_1{\log }_2{p}_1+(1-p_1){\log }_2(1-p_1)=f(p_1)$。 由（1）可知 $f(p_1)\ge -1$，即 $n=1$ 时不等式成立。

② 假设 $n=k$ ($k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 时不等式成立，即若正数 $q_1,q_2,\cdots ,q_{2^k}$ 满足 ${\sum }_{i=1}^{2^k}{q}_i=1$，则 ${\sum }_{i=1}^{2^k}{q}_i{\log }_2{q}_i\ge -k$。 当 $n=k+1$ 时，已知正数 $p_1,p_2,\cdots ,p_{2^{k+1}}$ 满足 ${\sum }_{i=1}^{2^{k+1}}{p}_i=1$。 令 $P_1=p_1+p_2+\cdots +p_{2^k}$，$P_2=p_{2^k+1}+p_{2^k+2}+\cdots +p_{2^{k+1}}$。 则 $P_1>0$，$P_2>0$，且 $P_1+P_2=1$。

将目标代数式分为前后两组化简： ${\sum }_{i=1}^{2^{k+1}}{p}_i{\log }_2{p}_i={\sum }_{i=1}^{2^k}{p}_i{\log }_2{p}_i+{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{p}_i{\log }_2{p}_i$ $={\sum }_{i=1}^{2^k}{P}_1\left(\frac{p_i}{P_1}\right){\log }_2\left[P_1\left(\frac{p_i}{P_1}\right)\right]+{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{P}_2\left(\frac{p_i}{P_2}\right){\log }_2\left[P_2\left(\frac{p_i}{P_2}\right)\right]$ $={\sum }_{i=1}^{2^k}{P}_1\frac{p_i}{P_1}\left({\log }_2{P}_1+{\log }_2\frac{p_i}{P_1}\right)+{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{P}_2\frac{p_i}{P_2}\left({\log }_2{P}_2+{\log }_2\frac{p_i}{P_2}\right)$ $=P_1{\log }_2{P}_1{\sum }_{i=1}^{2^k}\frac{p_i}{P_1}+P_1{\sum }_{i=1}^{2^k}\frac{p_i}{P_1}{\log }_2\frac{p_i}{P_1}+P_2{\log }_2{P}_2{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{p_i}{P_2}+P_2{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{p_i}{P_2}{\log }_2\frac{p_i}{P_2}$

因为 ${\sum }_{i=1}^{2^k}\frac{p_i}{P_1}=1$ 且 ${\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{p_i}{P_2}=1$，由归纳假设得： ${\sum }_{i=1}^{2^k}\frac{p_i}{P_1}{\log }_2\frac{p_i}{P_1}\ge -k，{\sum }_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{p_i}{P_2}{\log }_2\frac{p_i}{P_2}\ge -k$ 代入上式放大整理得： ${\sum }_{i=1}^{2^{k+1}}{p}_i{\log }_2{p}_i\ge P_1{\log }_2{P}_1\cdot 1+P_1(-k)+P_2{\log }_2{P}_2\cdot 1+P_2(-k)$ $=(P_1{\log }_2{P}_1+P_2{\log }_2{P}_2)-k(P_1+P_2)$

又由①及（1）可知 $P_1{\log }_2{P}_1+P_2{\log }_2{P}_2\ge -1$，且 $P_1+P_2=1$， 所以： ${\sum }_{i=1}^{2^{k+1}}{p}_i{\log }_2{p}_i\ge -1-k(1)=-(k+1)$ 即当 $n=k+1$ 时不等式亦成立。

综上所述，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，不等式均成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数公式及最值求解、数学归纳法中的归一化处理（构造 $\frac{p_i}{P}$ 使其和为 1）。
2. 核心方法：二分归纳法。利用 $2^{k+1}=2\times 2^k$ 的结构，将规模为 $2^{k+1}$ 的变元切分为两个规模为 $2^k$ 的系统进行归纳递推。
3. 避坑指南：第（2）问中，考生在递推时往往直接拆项，难以建立 $n=k+1$ 与 $n=k$ 的联系。必须通过除以权重和 $P_1,P_2$ 的方式强制构造出符合“和为1”的局部新概率变量，方可套用归纳假设。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有深厚的香农信息熵（Information Entropy）背景。若随机变量的概率分布为 $p_1,p_2,\cdots ,p_m$，其信息熵定义为 $H=-\sum p_i{\log }_2{p}_i$。本题实际在证明：当离散源的可能状态数为 $m=2^n$ 时，其最大信息熵在等概率分布时取得，且最大值为 $n$。
2. 结论推广：利用凸函数性质（詹森不等式 Jensen’s Inequality），对于任意满足 ${\sum }_{i=1}^m{p}_i=1$ 的正数序列，由于 $g(x)=x{\log }_{2}x$ 为凸函数，恒有 ${\sum }_{i=1}^m{p}_i{\log }_2{p}_i\ge \left(\sum p_i\right){\log }_2\left(\frac{\sum p_i}{m}\right)=1\cdot {\log }_2\frac{1}{m}=-{\log }_{2}m$。当 $m=2^n$ 时，即为本题结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

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