2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

本题导读

本题核心考查独立重复试验与二项分布模型。解题关键在于先计算出单个坑需要补种的概率，再将整体结构转化为二项分布模型进行分布列的列举与期望的求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 9 粒种子分种在 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为 0.5.若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种 1 个坑需 10 元，用 $\xi$ 表示补种费用，写出 $\xi$ 的分布列并求 $\xi$ 的数学期望.（精确到 0.01）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：计算单个坑需要补种的概率，即该坑内的 3 粒种子均未发芽的概率。
2. 第二步逻辑：明确 3 个坑是否补种构成独立重复试验，设需要补种的坑数为 $X$，确定 $X$ 服从二项分布。
3. 第三步逻辑：建立补种费用 $\xi$ 与 $X$ 的函数关系 $\xi =10X$，由此写出 $\xi$ 的所有可能取值及其对应概率，列出分布列并计算期望。

✅【答案】

Success

一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1−0.5)3=\dfrac{1}{8}，一个坑需要补种的概率为1

✍【详细解析】

Abstract

设一个坑内需要补种的事件为 $A$，则一个坑需要补种当且仅当该坑内 3 粒种子均未发芽。 由于每粒种子发芽的概率为 0.5，则不发芽的概率也为 0.5。 因此，单坑需要补种的概率为： $P(A)=(1-0.5{)}^3=0.5^3=\frac{1}{8}$

由于 3 个坑是否需要补种相互独立，设需要补种的坑数为 $X$，则 $X\sim B\left(3,\frac{1}{8}\right)$。 依题意，补种费用 $\xi =10X$，故 $\xi$ 的可能取值为 0, 10, 20, 30。

计算对应的概率分别为： $P(\xi =0)=P(X=0)=C_3^0{\left(\frac{1}{8}\right)}^0{\left(\frac{7}{8}\right)}^3=\frac{343}{512}$ $P(\xi =10)=P(X=1)=C_3^1{\left(\frac{1}{8}\right)}^1{\left(\frac{7}{8}\right)}^2=\frac{147}{512}$ $P(\xi =20)=P(X=2)=C_3^2{\left(\frac{1}{8}\right)}^2{\left(\frac{7}{8}\right)}^1=\frac{21}{512}$ $P(\xi =30)=P(X=3)=C_3^3{\left(\frac{1}{8}\right)}^3{\left(\frac{7}{8}\right)}^0=\frac{1}{512}$

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	10	20	30
$P$	$\frac{343}{512}$	$\frac{147}{512}$	$\frac{21}{512}$	$\frac{1}{512}$

利用二项分布的期望性质 $E(X)=n\cdot p=3\times \frac{1}{8}=\frac{3}{8}$， 由于 $\xi =10X$，根据期望的线性性质得： $E(\xi )=E(10X)=10\cdot E(X)=10\times \frac{3}{8}=\frac{30}{8}=3.75$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：单次试验概率（对立事件）、二项分布模型的判定与分布列、期望的数学性质。
2. 核心方法：先“化整为零”分析单次独立环节，再“由点及面”套用伯努利试验公式。
3. 避坑指南：

• 变量混淆：容易错误地直接把需要补种的坑数（0, 1, 2, 3）作为随机变量 $\xi$ 的取值列入分布列，导致分布列表述对象错误。
• 期望计算：直接用定义式 $\sum {\xi }_i{P}_i$ 计算分数较为繁琐，利用 $E(aX+b)=aE(X)+b$ 先求 $E(X)$ 再放大 10 倍可以大幅减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中独立重复试验在现代农业、生产质检背景下的典型概率决策问题，旨在考查高考生运用概率数学模型解决实际成本估算的能力。
2. 结论推广：若有 $n$ 个相互独立的生产环节，每个环节单次失败的概率为 $p_0$，发生一次失败带来的损失或更换费用为 $c$，则总费用 $\xi =cX$ 的数学期望通用公式为 $E(\xi )=c\cdot n\cdot p_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)