2005-全国卷I理-17 解-三角函数的对称轴

本题导读

本题核心考查正弦型三角函数的图象与性质。通过对称轴方程求解初相 $\phi$，利用整体代换法求解复合函数的单调增区间，最后结合导数的几何意义，通过斜率范围的比较证明直线与曲线不相切。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 设函数 $f(x)=\sin (2x+\phi )$ ($-\pi <\phi <0$)，$y=f(x)$ 图象的一条对称轴是直线 $x=\frac{\pi }{8}$.

(1)求 $\phi$；

(2)求函数 $y=f(x)$ 的单调增区间；

(3)证明直线 $5x-2y+c=0$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象不相切.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用对称轴处函数角相位满足 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 的性质，建立关于 $\phi$ 的方程，结合其取值范围确定 $\phi$ 的具体值。
2. 第二步逻辑：将 $\phi$ 代入解析式，利用整体代换法将 $2x+\phi$ 放入正弦函数的单调增区间中，解出 $x$ 的范围。
3. 第三步逻辑：求出已知直线的斜率，再求出函数 $f(x)$ 的导函数并确定切线斜率的最大值，通过比较二者大小得出结论。

✅【答案】

Success

(1) $\phi =-\frac{3\pi }{4}$

(2) 单调增区间为 $\left[\frac{\pi }{8}+k\pi ,\frac{5\pi }{8}+k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）

(3) 见解析（函数图象切线斜率最大值为 $2$，而直线斜率为 $\frac{5}{2}>2$，故不相切）

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为直线 $x=\frac{\pi }{8}$ 是函数 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴， 所以 $2\times \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 化简得 $\frac{\pi }{4}+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi ⟹\phi =\frac{\pi }{4}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。 又因为 $-\pi <\phi <0$， 当 $k=-1$ 时，$\phi =\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$。

（2）由（1）得 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)$。 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x-\frac{3\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 不等式各项同时加上 $\frac{3\pi }{4}$ 得： $\frac{\pi }{4}+2k\pi \le 2x\le \frac{5\pi }{4}+2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）， 各项同时除以 2 得： $\frac{\pi }{8}+k\pi \le x\le \frac{5\pi }{8}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。 所以，函数 $y=f(x)$ 的单调增区间为 $\left[\frac{\pi }{8}+k\pi ,\frac{5\pi }{8}+k\pi \right]$（$k\in \mathbb{Z}$）。

（3）将直线方程 $5x-2y+c=0$ 化为斜截式得 $y=\frac{5}{2}x+\frac{c}{2}$，其斜率为 $k=\frac{5}{2}$。 对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)={\left[\sin \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)\right]}^{\prime }=2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)$ 因为对任意 $x\in \mathbb{R}$，$-1\le \cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$， 所以 $f^{\prime }(x)\le 2$，即函数 $y=f(x)$ 图象上任意一点的切线斜率最大值为 2。 因为 $\frac{5}{2}>2$，所以方程 $2\cos \left(2x-\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{5}{2}$ 无实数解。 即函数 $y=f(x)$ 的图象上不存在导数为 $\frac{5}{2}$ 的点。 故直线 $5x-2y+c=0$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象不相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数的对称性与单调性、导数的几何意义（切线斜率）。
2. 核心方法：整体代换法求单调区间；导数边界值比较法证明不相切。
3. 避坑指南：

• 在求 $\phi$ 时，注意对称轴处的相位应设为 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 而不是 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$。
• 证明第（3）问时不需将直线方程与三角函数解析式联立，直接通过切线斜率的范围与已知直线斜率进行大小比较即可，避免陷入复杂的隐式方程组求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中三角函数图象与性质的经典题型。第（3）问将三角函数与微积分中的导数切线相交汇，体现了高考在知识交汇处命题的特点。
2. 结论推广：对于曲线 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$（$\omega >0$），其图象上任意一点的切线斜率 $k_{\text{切}}$ 的取值范围为 $[-A\omega ,A\omega ]$。若某直线的斜率 $k$ 满足 $|k|>A\omega$，则该直线必不与此曲线相切。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.01 导数定义与几何意义

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