2005-全国卷I理-16 填-正方体的截面性质

本题导读

本题是一道集空间想象能力与逻辑推理论证于一体的立体几何多结论选择/填空题。核心考查正方体截面的几何性质，引入空间直角坐标系将定性分析转化为定量计算是突破本题的关键。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 在正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，过对角线 $B{D}^{\prime }$ 的一个平面交 $A{A}^{\prime }$ 于 $E$，交 $C{C}^{\prime }$ 于 $F$，则： ① 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 一定是平行四边形； ② 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 有可能是正方形； ③ 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 在底面 $ABCD$ 内的投影一定是正方形； ④ 平面 $BF{D}^{\prime }E$ 有可能垂直于平面 $B{B}^{\prime }D$. 以上结论正确的为$\underline{}$.（写出所有正确结论的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $B$ 为原点建立空间直角坐标系，设出正方体棱长及变化参数（即点 $E,F$ 的高度）。
2. 利用四点共面条件确定 $E,F$ 纵坐标之间的约束关系。
3. 通过向量相等验证对边平行与相等（判定平行四边形）、利用向量的数量积判断垂直情况（判定正方形与面面垂直）、利用顶点的投影坐标直接确定投影图形。

✅【答案】

Success

①③④

✍【详细解析】

Abstract

以 $B$ 为原点，$BA,BC,B{B}^{\prime }$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。设正方体棱长为 1，则： $B(0,0,0)$，$D^{\prime }(1,1,1)$，$A(1,0,0)$，$A^{\prime }(1,0,1)$密，$C(0,1,0)$，$C^{\prime }(0,1,1)$。 设 $E(1,0,e)$，$F(0,1,f)$，其中 $0\le e,f\le 1$。

因为 $B,F,D^{\prime },E$ 四点共面，所以向量 $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BF},\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ 共面。 $\overrightarrow{BE}=(1,0,e)$，$\overrightarrow{BF}=(0,1,f)$ flock，$\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(1,1,1)$。 由 $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BF}$ 可得：$(1,1,1)=(1,1,e+f)$，从而 $e+f=1$。

• 对于①：$\overrightarrow{F{D}^{\prime }}=D^{\prime }-F=(1,1,1)-(0,1,f)=(1,0,1-f)$。 因为 $1-f=e$，所以 $\overrightarrow{F{D}^{\prime }}=(1,0,e)=\overrightarrow{BE}$。 对边平行且相等，故四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 恒为平行四边形，①正确；
• 对于②：若四边形为正方形，则邻边必须垂直且相等。 邻边相等：$B{E}^2=B{F}^2⟹1+e^2=1+f^2⟹e=f=\frac{1}{2}$。 此时 $\overrightarrow{BE}=(1,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BF}=(0,1,\frac{1}{2})$。 其数量积 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BF}=1\times 0+0\times 1+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ne 0$，即邻边不可能垂直，故绝对不可能是正方形，②错误；
• 对于③：计算各点在底面 $ABCD$（即 $xOy$ 平面）上的投影坐标： $B\to (0,0)$，$E\to (1,0)$，$D^{\prime }\to (1,1)$ punch，$F\to (0,1)$。 这四个投影点构成的图形恰好是正方形 $ABCD$，③正确；
• 对于④：平面 $B{B}^{\prime }D$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(1,-1,0)$。 平面 $BF{D}^{\prime }E$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{BE}\times \overrightarrow{BF}=(-e,e-1,1)$。 若两平面垂直，则 ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=-e-(e-1)=-2e+1=0⟹e=\frac{1}{2}$。 当 $e=f=\frac{1}{2}$（即 $E,F$ 分别为棱中点）时两平面垂直，④正确。

答案：①③④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间坐标系建立、四点共面条件（$e+f=1$）、面面垂直的向量判定法。
2. 核心方法：建系坐标化。将直观空间想象中难以把握的变动截面问题，转化为代数方程求解。
3. 避坑指南：

• 很多考生易误选②，主观上认为当 $E,F$ 取到中点时具有高度对称性，应该能凑出正方形，但定量计算表明其夹角的余弦值恒为定值，根本无法达到 $90^{\circ }$。
• 判断包含“有可能”的称述（如④）时，只需寻找到一个特殊位置（本题中为中点位置）满足条件即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中利用“平行投影”保持平行性不变的性质，以及立体几何中关于正方体对角面与截面关系的经典探究。
2. 结论推广：若将正方体推广为一般的平行六面体，过其体对角线的截面与相对侧棱相交所成的四边形，依然恒为平行四边形，且它在底面上的平行投影始终与底面形状保持一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)