2005-全国卷I理-15 填-平面向量的线性运算

本题导读

本题核心考查平面向量性质在三角形“五心”中的综合应用。通过利用垂心和外心的几何垂直关系与等长关系进行数量积推导，或利用特殊三角形直接求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） $△ABC$ 的外接圆的圆心为 $O$，两条边上的高的交点为 $H$，$\overrightarrow{OH}=m(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$，则实数 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 特殊化法：由于结论对任意三角形均成立，可构造满足条件的特殊三角形（如等腰直角三角形），通过建系直接写出各点坐标，代入计算 $m$。
2. 一般向量法：利用外心 $O$ 满足 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$，垂心 $H$ 满足 $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，通过向量拆分与数量积运算推导 $m$。

✅【答案】

Success

1

✍【详细解析】

Abstract

解法一（特殊化法）： 设 $△ABC$ 为等腰直角三角形，且 $\angle A=90^{\circ }$。 以斜边 $BC$ 的中点为原点 $O$ 建立直角坐标系，设外接圆半径为 1。 则各点坐标分别为：$O(0,0)$，$A(0,1)$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$。 因为 $△ABC$ 是直角三角形，其两边高的交点（垂心） $H$ 恰好与直角顶点 $A$ 重合，即 $H(0,1)$。

此时各相关向量为： $\overrightarrow{OH}=(0,1)，\overrightarrow{OA}=(0,1)，\overrightarrow{OB}=(-1,0)，\overrightarrow{OC}=(1,0)$

将其代入已知等式的右侧括号内部分： $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(0,1)+(-1,0)+(1,0)=(0,1)$

由 $\overrightarrow{OH}=m(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 可得： $(0,1)=m(0,1)⟹m=1$

解法二（一般向量法）： 因为 $H$ 是 $△ABC$ 的垂心，所以 $AH\perp BC⟹\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$。 根据向量的减法，有 $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$。 将 $\overrightarrow{OH}=m(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ 代入得： $\overrightarrow{AH}=(m-1)\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}$

代入数量积方程中： $\left[(m-1)\overrightarrow{OA}+m(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\right]\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=0$ $(m-1)\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})+m(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=0$ $(m-1)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}+m\left(|\overrightarrow{OC}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2\right)=0$

因为 $O$ 为 $△ABC$ 的外心，所以 $|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=R$（外接圆半径），即 $|\overrightarrow{OC}{|}^2-|\overrightarrow{OB}{|}^2=0$。 式子化简为： $(m-1)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$

由于该结论对任意三角形均成立，而 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 在非等腰三角形中不为 0， 因此必有 $m-1=0⟹m=1$。

答案：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形垂心的向量运算特征（西尔维斯特定理：$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$）。
2. 核心方法：特殊值/特殊图形代入法（对求解选择、填空题中的结构常量极其高效）。
3. 避坑指南：避免盲目展开非特殊三角形的复杂代数坐标，外心与垂心的核心几何特征分别是“等距”与“垂直”，紧扣这两个性质用数量积表达即可规避冗长繁琐的计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于经典平面几何中的欧拉线定理（Euler’s line）。在任意三角形中，外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ 三点共线，且满足向量关系 $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$。
2. 结论推广：由重心性质已知 $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$，可推导出 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。结合欧拉线定理 $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$，直接可得通用恒等式 $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07 三角形五心与奔驰定理
• 09.03 平面向量的数量积

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