2005-全国卷I理-13 填-对数的运算性质

本题导读

本题核心考查对数的运算性质以及不等式的基本性质。通过对不等式三边同时取常用对数，将大幂次的指数式化简为常规的乘法运算，从而确定正整数参数的取值区间。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 若正整数 $m$ 满足 $10^{m-1}<2^{512}<10^m$，则 $m=$ $\underline{}$. ($\lg 2\approx 0.3010$)

🔍【思路分析】

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1. 利用对数函数的单调性，对已知不等式三边同时取以 10 为底的常用对数 $\lg$。
2. 运用对数的幂性质将指数 $512$ 提前，代入 $\lg 2$ 的近似值进行实数乘法计算。
3. 根据夹逼准则，由 $m$ 为正整数这一条件锁定 $m$ 的精确值。

✅【答案】

Success

155

✍【详细解析】

Abstract

对不等式 $10^{m-1}<2^{512}<10^m$ 三边同时取常用对数得： $\lg 10^{m-1}<\lg 2^{512}<\lg 10^m$

根据对数运算性质 $\lg 10^k=k$ 及 $\lg a^b=b\lg a$，原式可化为： $m-1<512\lg 2<m$

将 $\lg 2\approx 0.3010$ 代入中间项进行计算： $512\times 0.3010=154.112$

从而得到不等式： $m-1<154.112<m$

因为 $m$ 为正整数，所以满足该不等式的整数区间端点为： $m-1=154⟹m=155$

答案：155

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：常用对数的运算法则（$\lg a^b=b\lg a$）与对数函数的单调性。
2. 核心方法：两边取对数法。这是解决指数高次幂大小比较、大数位数确定等问题的标准工具。
3. 避坑指南：

• 估算时切忌凭感觉口算， $512\times 0.3010$ 的计算需要保证小数点位置的准确性。
• 审题时需看清要求的是 $m$ 还是 $m-1$，避免习惯性地将整数部分 $154$ 直接填入空格。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自初等数学中关于“大数的位数”考查的经典模型。在十进制中，一个正整数 $N$ 的位数等于 $\lfloor \lg N\rfloor +1$，题目中给出的不等式结构本质上即在间接求 $2^{512}$ 展开后的位数。
2. 结论推广：设正整数 $N$ 在 $a$ 进制下的位数为 $m$，则必有 $a^{m-1}\le N<a^m$。两边取对数可得 $m=\lfloor {\log }_{a}N\rfloor +1$。

🔗【关联脉络】

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• 04.01 指数与对数运算

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