2005-全国卷I理-11 单-三角形内角和定理与诱导公式

本题导读

本题核心考查三角形中的三角恒等变换。解题切入点在于利用三角形内角和定理将已知等式中的角进行统一，通过二倍角公式求出角 $C$ 的具体大小，进而确定该三角形为直角三角形，最终对四个论断的真伪进行逐一甄别。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 在 $△ABC$ 中，已知 $\tan \frac{A+B}{2}=\sin C$，给出以下四个论断： ① $\tan A\cdot \cot B=1$； ② $0<\sin A+\sin B\le \sqrt{2}$； ③ ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}B=1$； ④ ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B={\sin }^{2}C$. 其中正确的是()

A. ①③　　　　　　　B. ②④　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用 $A+B+C=\pi$ 变形得到 $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$，结合诱导公式化简已知等式的左边。
2. 利用二倍角公式展开等式的右边，通过解方程确定角 $C$ 的值，从而明确 $△ABC$ 的形状。
3. 得到 $A+B=\frac{\pi }{2}$ 后，将各论断中的角 $B$ 统一转化为 $\frac{\pi }{2}-A$，分别进行定性或定量分析。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以 $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$。 由诱导公式得： $\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}=\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}$

又由二倍角公式，$\sin C=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$， 代入原已知等式得： $\frac{\cos \frac{C}{2}}{\sin \frac{C}{2}}=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $\frac{C}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，可得 $\cos \frac{C}{2}\ne 0$。 两边同除以 $\cos \frac{C}{2}$ 并整理得： $2{\sin }^2\frac{C}{2}=1⟹{\sin }^2\frac{C}{2}=\frac{1}{2}$

由于 $\sin \frac{C}{2}>0$，所以 $\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $\frac{C}{2}=\frac{\pi }{4}⟹C=\frac{\pi }{2}$。 因此，$△ABC$ 是以 $C$ 为直角的直角三角形，满足 $A+B=\frac{\pi }{2}$，且 $A,B\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。

接下来逐一判断四个论断：

• 对于①：$\tan A\cdot \cot B=\tan A\cdot \cot \left(\frac{\pi }{2}-A\right)={\tan }^{2}A$。其值取决于 $A$ 的大小，不恒等于 1，故①错误；
• 对于②：$\sin A+\sin B=\sin A+\sin \left(\frac{\pi }{2}-A\right)=\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$。 因为 $A\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $A+\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$，则 $\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$。 从而 $\sin A+\sin B\in (1,\sqrt{2}]$，显然其包含于区间 $(0,\sqrt{2}]$ 内，故②正确；
• 对于③：${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}B={\sin }^{2}A+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-A\right)=2{\sin }^{2}A$，不恒等于 1，故③错误；
• 对于④：左边 $={\cos }^{2}A+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-A\right)={\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A=1$。 右边 $={\sin }^2\frac{\pi }{2}=1$。左边等于右边恒成立，故④正确。

综上所述，正确的论断是②④。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形中的三角函数关系、二倍角公式与辅助角公式的融合。
2. 核心方法：利用直角三角形中的互余关系 $B=\frac{\pi }{2}-A$ 进行“消角”化简。
3. 避坑指南：在判断论断②时，部分考生计算出 $\sin A+\sin B$ 的取值范围为 $(1,\sqrt{2}]$ 后，发现与论断中的 $0<\sin A+\sin B\le \sqrt{2}$ 在左端点不完全一致而误判其错误。需要注意，命题表述的是“充要条件”或“蕴含关系”，既然范围是 $(1,\sqrt{2}]$，那么它必然满足不大于 $\sqrt{2}$ 且大于 0 的不等关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对三角形形状判定问题的深层次变形。通过隐蔽的三角方程形式，将“直角三角形”这一结论包装起来，全面考查了考生的逻辑推理能力。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，若满足 $\tan \frac{A+B}{2}=\sin C$，则该三角形必为直角三角形（$C=\frac{\pi }{2}$）；若满足 $\tan \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}$，则可推导出该三角形必为等腰三角形（$A+B=C$ 不成立，应有其他恒等关系，此略）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)