2005-全国卷I理-09 单-对数不等式的解法

本题导读

本题核心考查对数不等式与指数不等式的复合求解。解答的关键在于根据对数函数的底数范围确定其单调性，从而将对数不等式转化为代数不等式求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 设 $0<a<1$，函数 $f(x)={\log }_a(a^{2x}-2a^x-2)$，则使 $f(x)<0$ 的 $x$ 取值范围是()

A. $(-\infty ,0)$　　　B. $(0,+\infty )$　　　C. $(-\infty ,{\log }_{a}3)$　　　D. $({\log }_{a}3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据对数函数的定义域要求真数大于零，列出基本约束条件。
2. 结合 $f(x)<0$ 及底数 $0<a<1$ 的单调递减性质，将对数不等式转化为真数大于 1 的不等式（此时真数大于零的条件被自动包含）。
3. 利用换元法（令 $t=a^x>0$）将指数不等式转化为一元二次不等式求解，最后求出 $x$ 的范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)<0$，即 ${\log }_a(a^{2x}-2a^x-2)<0$。

因为 $0<a<1$，对数函数 $y={\log }_{a}u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，且 ${\log }_{a}1=0$。 所以原不等式等价于： $a^{2x}-2a^x-2>1$

整理得： $a^{2x}-2a^x-3>0$

令 $t=a^x$（其中 $t>0$），则不等式化为： $t^2-2t-3>0$

因式分解得： $(t-3)(t+1)>0$

解得 $t>3$ 或 $t<-1$。 又因为 $t>0$，所以 $t>3$，即 $a^x>3$。

由于 $0<a<1$，两边取以 $a$ 为底的对数，不等号方向改变，得： $x<{\log }_{a}3$

所以 $x$ 的取值范围是 $(-\infty ,{\log }_{a}3)$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数不等式、指数不等式、一元二次不等式的综合求解。
2. 核心方法：换元法。通过将复杂的指数式 $a^x$ 整体换元为 $t$，降次转化为常规的一元二次不等式。
3. 避坑指南：

• 底数范围与不等号方向：在处理对数和指数不等式去底的过程中，必须紧扣底数 $a$ 的范围。本题中 $0<a<1$，去底时不等号方向发生了两次改变。
• 真数大于零的条件：虽然本题由 $a^{2x}-2a^x-2>1$ 自动蕴含了真数大于 0 的条件，但在解对数问题时，必须时刻具备优先检查定义域的意识。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由基础的对数函数与指数函数复合而成的典型不等式题，旨在考查高考生对复合函数单调性综合运用的熟练度。
2. 结论推广：对于函数 $f(x)={\log }_a(a^{2x}-m{a}^x-n)$（其中 $0<a<1$），求 $f(x)<0$ 最终均可转化为一元二次不等式 $t^2-mt-(n+1)>0$（$t=a^x>0$）的形式进行通用化求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)