2005-全国卷I理-08 单-二次函数的图象与性质

本题导读

本题核心考查二次函数图象与其系数之间的对应关系。根据已知条件 $b>0$，结合各备选图象的开口方向、对称轴位置以及 $y$ 轴截距特征进行排查，从而锁定正确图象并确定参数 $a$ 的值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 设 $b>0$，二次函数 $y=a{x}^2+bx+a^2-1$ 的图象为下列之一：

则 $a$ 的值为()

A. 1　　　　　B. -1　　　　　C. $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$　　　　　D. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二次函数的对称轴方程 $x=-\frac{b}{2a}$，利用 $b>0$ 分别讨论 $a>0$ 和 $a<0$ 时对称轴的位置。
2. 对比各图象中的开口方向与对称轴的实际位置，排除不符合条件的图象。
3. 利用正确图象过原点的几何特征，代入坐标求出 $a$ 的具体值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

二次函数 $y=a{x}^2+bx+a^2-1$ 的对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$。 已知 $b>0$，我们对 $a$ 的符号进行分类讨论：

1. 若 $a>0$，则图象开口向上，此时对称轴 $x=-\frac{b}{2a}<0$，即对称轴应在 $y$ 轴左侧。 观察第 2 幅和第 4 幅开口向上的图象，它们的对称轴分别在 $y$ 轴上和 $y$ 轴右侧，均不符合要求，故排除第 2、4 幅图。
2. 若 $a<0$，则图象开口向下，此时对称轴 $x=-\frac{b}{2a}>0$，即对称轴应在 $y$ 轴右侧。 观察第 1 幅图，其对称轴为 $y$ 轴，不符； 观察第 3 幅图，开口向下且对称轴在 $y$ 轴右侧，符合要求。

由第 3 幅图可知，该函数图象过原点 $(0,0)$，将点 $(0,0)$ 代入函数解析式得： $a^2-1=0⟹a=\pm 1$

又因为 $a<0$，所以 $a=-1$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图象特征：$a$ 决定开口方向，$\left(a,b\right)$ 共同决定对称轴位置（左同右异），$c$ 决定 $y$ 轴截距。
2. 核心方法：数形结合，通过特殊位置（如对称轴正负性、特殊点坐标）快速排除错误选项。
3. 避坑指南：部分考生在看图时容易忽略第 3、4 幅图中曲线穿过原点 $(0,0)$ 的隐性定量条件，仅凭定性分析图象开口和对称轴可能无法在 A 和 B 之间做出最终抉择。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中二次函数的性质拓展而来的经典识图题，旨在考查逻辑推理能力与分类讨论思想。
2. 结论推广：对于二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$，若已知 $b\ne 0$ 且图象过原点（即 $c=0$），则其对称轴 $x=-\frac{b}{2a}\ne 0$。此时图象的顶点绝对不可能落在 $y$ 轴上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)