2005-全国卷I理-05 单-拟柱体的体积计算

本题导读

本题核心考查不规则多面体（拟柱体）的体积计算。通过分析多面体的对称性与各棱长关系，可采用拟柱体体积公式（辛普森公式）或将几何体分割为标准柱体与锥体组合进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，已知 $ABCD$ 是边长为 1 的正方形，且 $△ADE$、$△BCF$ 均为正三角形，$EF\parallel AB$，$EF=2$，则该多面体的体积为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何体高度：利用对称性，建立空间直角坐标系或通过过顶点作底面的垂线，根据已知侧面正三角形的边长求出多面体的高 $h$。
2. 体积求解方案：

• 方案一（割补法）：过 $A,B$ 作垂直于 $EF$ 的平面，将多面体分割为一个中间的直三棱柱和两端对称的两个四面体（三棱锥），分别求出体积后相加。
• 方案二（拟柱体公式法）：直接应用辛普森公式 $V=\frac{h}{6}(S_{\text{下}}+S_{\text{上}}+4S_{\text{中}})$ 快速求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求多面体的高 $h$ 建立空间直角坐标系，设底面正方形 $ABCD$ 的中心为原点 $O$。 则各顶点坐标分别为： $A\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$，$D\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)$。 由于 $EF\parallel AB$ 且 $EF=2$，结合图形对称性，棱 $EF$ 的中点投影在 $z$ 轴上，故可设： $E(-1,0,h)$，其中 $h$ 为多面体的高。

因为 $△ADE$ 为边长为 1 的正三角形，所以 $AE=1$。 根据空间两点间距离公式： $A{E}^2={\left(-1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^2+h^2=1$ ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+h^2=1⟹\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+h^2=1⟹h^2=\frac{1}{2}$ 解得多面体的高 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

第二步：计算体积（使用拟柱体公式法） 该多面体是一个以平面 $ABCD$ 为下底面、线段 $EF$ 为上底面的拟柱体。

• 下底面面积 $S_{\text{下}}=S_{ABCD}=1\times 1=1$；
• 上底面是一条线段，面积 $S_{\text{上}}=0$；
• 中截面（位于 $z=\frac{h}{2}$ 处）是一个矩形。 其各边长分别为对应上下底面平行对应边长的平均值： 沿 $x$ 方向的长度为 $\frac{AB+EF}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$； 沿 $y$ 方向的长度为 $\frac{AD+0}{2}=\frac{1}{2}$。 故中截面面积 $S_{\text{中}}=\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。

代入拟柱体体积公式： $V=\frac{h}{6}(S_{\text{下}}+S_{\text{上}}+4S_{\text{中}})=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{6}\left(1+0+4\times \frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{12}\times 4=\frac{\sqrt{2}}{3}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体的空间结构分析、空间距离（高）的计算、组合体体积。
2. 核心方法：空间坐标法精准定位几何元素；拟柱体公式（辛普森公式）一气呵成避免复杂的割补讨论。
3. 避坑指南：部分考生易盲目套用棱台体积公式，但由于侧棱延长后不交于同一点，该多面体并非棱台，错用公式会导致计算完全错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对传统柱体、锥体结构的拓展，属于典型的“楔形体”或“倒檐体”模型，在高等数学中常作为三重积分计算体积的典型几何区域背景。
2. 结论推广：对于底面为矩形（边长为 $a,b$），顶棱平行于底面边 $a$ 且长度为 $L$ 的拟柱体（其高为 $h$），其通用体积公式可通过辛普森公式推广为：$V=\frac{bh}{6}(2a+L)$。本题中 $a=1,b=1,L=2$，代入即得 $V=\frac{1\times h}{6}(2\times 1+2)=\frac{2}{3}h$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)