2005-全国卷I理-02 单-集合的交、并、补集运算

本题导读

本题核心考查集合的基本运算（交、并、补）及其性质，特别是德·摩根定律的直接应用，属于考查集合基本概念的题目。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 设 $I$ 为全集，$S_1、S_2、S_3$ 是 $I$ 的三个非空子集且 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$，则下面论断正确的是()

A. ${\complement }_I{S}_1\cap (S_2\cup S_3)=\varnothing$　　　　　　　　　　　　B. $S_1\subseteq ({\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3)$

C. ${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3=\varnothing$　　　　　　　　　　　　D. $S_1\subseteq ({\complement }_I{S}_2\cup {\complement }_I{S}_3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察选项特点，选项 C 涉及三个补集的交集，可优先通过德·摩根定律进行整体化简。
2. 结合已知条件 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$，判断化简结果是否满足。
3. 也可通过构造特殊集合（如令三个集合相等且等于全集）来快速排除错误选项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据德·摩根定律，多个集合补集的交集等于它们并集的补集： ${\complement }_I{S}_1\cap {\complement }_I{S}_2\cap {\complement }_I{S}_3={\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)$

因为已知 $S_1\cup S_2\cup S_3=I$， 所以 ${\complement }_I(S_1\cup S_2\cup S_3)={\complement }_{I}I=\varnothing$。 故选项 C 正确。

（另解：取特例 $S_1=S_2=S_3=I$，此时 ${\complement }_I{S}_1=\varnothing$。 对于 A：$\varnothing \cap I=\varnothing$ 正确，但若取 $S_1,S_2,S_3$ 为互不相交的划分，则 ${\complement }_I{S}_1\cap (S_2\cup S_3)=S_2\cup S_3\ne \varnothing$，故 A 错； 对于 B：$I\subseteq \varnothing$ 错误； 对于 D：$I\subseteq \varnothing$ 错误。综上只有 C 恒成立。）

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的补集运算性质与德·摩根定律 ${\complement }_I(A\cup B)={\complement }_{I}A\cap {\complement }_{I}B$。
2. 核心方法：利用运算性质进行代数恒等变形；利用特值思想快速筛除。
3. 避坑指南：避免盲目画韦恩图去穷举三个集合的各种相交或分离的状态，从整体（全集的补集为空集）去把握能大幅提升解题效率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中集合基本性质定理的直接延伸，旨在考查高考生对集合抽象运算公式的熟练程度。
2. 结论推广：若 ${\bigcup }_{i=1}^n{S}_i=I$，则根据德·摩根定律，其一般化结论为 ${\bigcap }_{i=1}^n{\complement }_I{S}_i=\varnothing$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

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