2005-全国卷I文-22 解-椭圆向量共线定值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中的定值问题。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 已知椭圆的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $1$ 且过椭圆右焦点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 与 $\vec{a}=(3,-1)$ 共线．

(1)求椭圆的离心率；

(2)设 $M$ 为椭圆上任意一点，且 $\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$（$\lambda ,\mu \in \mathbf{R}$），证明 ${\lambda }^2+{\mu }^2$ 为定值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，右焦点 $F(c,0)$，直线 $y=x-c$，联立用韦达定理表出 $x_1+x_2$、$y_1+y_2$。
2. 共线条件 $(x_1+x_2,y_1+y_2)=k(3,-1)$ 化为 $b^2=\frac{a^2}{3}$，得 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 3.（2）把 $M(\lambda x_1+\mu x_2,\lambda y_1+\mu y_2)$ 代入椭圆方程展开，利用 $A$、$B$ 在椭圆上及交叉项为零得 ${\lambda }^2+{\mu }^2=1$。

✅【答案】

Success

(1) $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$；

(2) 证明见解析，${\lambda }^2+{\mu }^2=1$（定值）。

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），右焦点 $F(c,0)$，则直线 $AB$：$y=x-c$． 联立 $\{\begin{array}{l}y=x-c,\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\end{array}$ 消去 $y$： $(a^2+b^2)x^2-2a^{2}cx+a^2(c^2-b^2)=0$． 由韦达定理，$x_1+x_2=\frac{2a^{2}c}{a^2+b^2}$，$x_1{x}_2=\frac{a^2(c^2-b^2)}{a^2+b^2}$． $y_1+y_2=(x_1-c)+(x_2-c)=x_1+x_2-2c=\frac{2a^{2}c}{a^2+b^2}-2c=\frac{-2b^{2}c}{a^2+b^2}$． 由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ 与 $(3,-1)$ 共线： $-(x_1+x_2)=3(y_1+y_2)$，即 $-\frac{2a^{2}c}{a^2+b^2}=\frac{-6b^{2}c}{a^2+b^2}$， 故 $a^2=3b^2$，$c^2=a^2-b^2=2b^2$，$e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{2b^2}{3b^2}=\frac{2}{3}$，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$． （2）由（1）$a^2=3b^2$，此时 $x_1+x_2=\frac{2\cdot 3b^{2}c}{4b^2}=\frac{3c}{2}$，$x_1{x}_2=\frac{3b^2(c^2-b^2)}{4b^2}=\frac{3b^2{b}^2}{4b^2}=\frac{3b^2}{4}$， 且 $y_1{y}_2=(x_1-c)(x_2-c)=x_1{x}_2-c(x_1+x_2)+c^2=\frac{3b^2}{4}-\frac{3c^2}{2}+c^2=\frac{3b^2}{4}-\frac{c^2}{2}$； 由 $c^2=2b^2$，$y_1{y}_2=\frac{3b^2}{4}-b^2=-\frac{b^2}{4}$． 于是交叉项 $\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}=\frac{\frac{3b^2}{4}}{3b^2}+\frac{-\frac{b^2}{4}}{b^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$． 设 $M(x,y)$，由 $\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$：$x=\lambda x_1+\mu x_2$，$y=\lambda y_1+\mu y_2$． 代入椭圆方程： $\frac{(\lambda x_1+\mu x_2{)}^2}{a^2}+\frac{(\lambda y_1+\mu y_2{)}^2}{b^2}$ $={\lambda }^2\left(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}\right)+{\mu }^2\left(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}\right)+2\lambda \mu \left(\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}\right)$ $={\lambda }^2+{\mu }^2+2\lambda \mu \times 0={\lambda }^2+{\mu }^2$． 因 $M$ 在椭圆上，上式等于 $1$，故 ${\lambda }^2+{\mu }^2=1$，为定值．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆向量共线定值

核心方法：联立直线 $y=x+c$ 与椭圆，由韦达定理表出 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，共线条件得 $b^2=\frac{a^2}{3}$，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$；（2）展开 $\overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 代入椭圆方程，交叉项恰为零

避坑指南：向量共线用坐标行列式为 $0$；第（2）问的关键是先算出交叉项 $\frac{x_1{x}_2}{a^2}+\frac{y_1{y}_2}{b^2}=0$，它依赖（1）的结论

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆与向量共线、定值问题的综合，教材”圆锥曲线”压轴题

结论推广：一般化：直线过焦点与椭圆交于两点，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 的方向由韦达定理完全确定，进而定离心率

方法推广：共线条件坐标化为行列式为零；定值证明把目标式展开，利用（1）的结论让交叉项消失

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-22 解-双曲线渐近线弦长
• 2009-大纲Ⅰ文-12 单-椭圆准线向量
• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率
• 2006-全国卷I文-21 解-椭圆短轴端点距离最值