2005-全国卷I文-16 填-正方体截面命题

本题导读

本题考查正方体的截面，以及空间位置关系的命题真假判定。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 在正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，过对角线 $B{D}^{\prime }$ 的一个平面交 $A{A}^{\prime }$ 于 $E$，交 $C{C}^{\prime }$ 于 $F$，则： ① 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 一定是平行四边形； ② 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 有可能是正方形； ③ 四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 在底面 $ABCD$ 内的投影一定是正方形； ④ 平面 $BF{D}^{\prime }E$ 有可能垂直于平面 $B{B}^{\prime }D$． 以上结论正确的为　　　　（写出所有正确结论的编号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$D^{\prime }(0,1,1)$，设 $E(0,0,e)$，$F(1,1,f)$。
2. 由 $B$、$F$、$D^{\prime }$、$E$ 共面得 $e+f=1$，从而 $BF\parallel E{D}^{\prime }$、$F{D}^{\prime }\parallel BE$，①成立；②中邻边相等只是菱形，角非直角，排除。
3. ③投影为 $B$、$C$、$D$、$A$ 构成的正方形；④取 $e=f=\frac{1}{2}$ 时两面法向量垂直，验证成立。

✅【答案】

Success

正确结论为 ①③④

✍【详细解析】

Abstract

建立坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A^{\prime }(0,0,1)$，$D^{\prime }(0,1,1)$，设 $E(0,0,e)$（$0\le e\le 1$），$F(1,1,f)$（$0\le f\le 1$）． 由 $B$、$D^{\prime }$、$E$、$F$ 四点共面，$\overrightarrow{BF}=(0,1,f)$ 与 $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-1,1,1)$、$\overrightarrow{BE}=(-1,0,e)$ 共面可推得 $e+f=1$． ①：$\overrightarrow{BF}=(0,1,f)$，$\overrightarrow{E{D}^{\prime }}=(0,1,1-e)=(0,1,f)$，故 $BF\parallel E{D}^{\prime }$ 且相等；同理 $F{D}^{\prime }\parallel BE$，故四边形 $BF{D}^{\prime }E$ 一定是平行四边形，①正确； ②：邻边长 $|BF|=\sqrt{1+f^2}$，$|F{D}^{\prime }|=\sqrt{1+(1-f{)}^2}$，相等需 $f=\frac{1}{2}$，此时四边形是菱形；但 $\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{F{D}^{\prime }}=(0,1,f)\cdot (-1,0,1-f)=f(1-f)\ne 0$（$0<f<1$），邻边不垂直，不可能是正方形，②错误； ③：$B$、$F$、$D^{\prime }$、$E$ 在底面上的投影分别为 $(1,0)$、$(1,1)$、$(0,1)$、$(0,0)$，即 $B$、$C$、$D$、$A$，投影一定是正方形 $ABCD$，③正确； ④：平面 $B{B}^{\prime }D$ 即平面 $x+y=1$（法向量 $(1,1,0)$）；平面 $BF{D}^{\prime }E$ 的法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{BF}\times \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(1-f,-f,1)$．两平面垂直需法向量垂直：$(1-f)-f=0$，即 $f=\frac{1}{2}$，此时 $E$、$F$ 均为棱的中点，满足题意，故”有可能垂直”成立，④正确． 综上，正确结论为 ①③④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截面命题

核心方法：由 $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ 及对称性得 ① 对；投影为正方形得 ③ 对；取 $E$、$F$ 为中点时面面垂直得 ④ 对；计算排除 ②

避坑指南：判断”可能”型命题只需构造一例，判断”一定”型命题需证明或反例；② 中邻边 $\sqrt{1+f^2}$ 与 $\sqrt{1+(1-f{)}^2}$ 相等只是菱形，角不是直角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正方体的截面与投影，教材”空间点、线、面位置关系”的探究题

结论推广：一般化：过正方体两条异面对角线相关元素的截面，形状由动点位置参数化，可用坐标刻画

方法推广：空间命题判断用坐标法最可靠：设出交点参数，逐一验证平行、长度、角度与垂直

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-12 单-空间线面位置关系
• 2008-大纲Ⅰ文-11 单-三棱柱线面角
• 2009-大纲Ⅰ文-09 单-三棱柱异面直线
• 2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角