2005-全国卷I文-10 单-三角恒等与论断判断

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角形内角关系，以及命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 在 $△ABC$ 中，已知 $\tan \frac{A+B}{2}=\sin C$，给出以下四个论断： ① $\tan A\cdot \cot B=1$；　② $0<\sin A+\sin B\le \sqrt{2}$； ③ ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}B=1$；　④ ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B={\sin }^{2}C$． 其中正确的是()

A. ①③　　　　　　　B. ②④　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②③

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A+B=\pi -C$，$\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}=\sin C$。
2. 由 $\sin C=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$ 得 ${\sin }^2\frac{C}{2}=\frac{1}{2}$，故 $C=\frac{\pi }{2}$，从而 $A+B=\frac{\pi }{2}$。
3. 逐条化简：① $={\tan }^{2}A$ 一般不为 $1$；② $\sin A+\cos A\in (1,\sqrt{2}]$ 成立；③ $=2{\sin }^{2}A$ 一般不为 $1$；④ $=1={\sin }^{2}C$ 成立。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $A+B=\pi -C$，$\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}\right)=\cot \frac{C}{2}$． 故 $\cot \frac{C}{2}=\sin C=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$．因 $C\in (0,\pi )$，$\cos \frac{C}{2}>0$， 两边除以 $\cos \frac{C}{2}$ 得 $\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}=2\sin \frac{C}{2}$，即 ${\sin }^2\frac{C}{2}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $C=\frac{\pi }{2}$，$A+B=\frac{\pi }{2}$，$B=\frac{\pi }{2}-A$． ①：$\tan A\cdot \cot B=\tan A\cdot \tan A={\tan }^{2}A$，仅当 $A=\frac{\pi }{4}$ 时为 $1$，不恒成立，错误； ②：$\sin A+\sin B=\sin A+\cos A=\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$，由 $A\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 知其取值范围为 $(1,\sqrt{2}]$，故 $0<\sin A+\sin B\le \sqrt{2}$ 成立，正确； ③：${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}B={\sin }^{2}A+{\sin }^{2}A=2{\sin }^{2}A$，仅当 $A=\frac{\pi }{4}$ 时为 $1$，不恒成立，错误； ④：${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B={\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A=1={\sin }^2\frac{\pi }{2}={\sin }^{2}C$，恒成立，正确． 综上，正确的论断是 ②④． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等与论断判断

核心方法：由 $\tan \frac{A+B}{2}=\sin C$ 变形得 $\sin \frac{C}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $C=\frac{\pi }{2}$；逐条检验知 ②④ 正确

避坑指南：先解出 $C=90^{\circ }$ 再逐条验证：① 化为 ${\tan }^{2}A$ 一般不成立、③ 化为 $2{\sin }^{2}A$；“正确的是”要选出全部成立的组合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换与命题判断的结合，教材”三角函数”综合题

结论推广：一般化：$\tan \frac{A+B}{2}=\sin C$ 型条件可解出特殊角 $C=\frac{\pi }{2}$，此后各论断化为单变量函数验证

方法推广：多论断判断题先把条件化到最简（定角），再把每个论断等价变形后逐一检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-17 解-解三角形求边周长
• 2009-大纲Ⅰ文-18 解-解三角形求边
• 2008-新课标Ⅰ文-17 解-解三角形综合
• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心