2005-全国卷I文-04 单-多面体体积分割

本题导读

本题考查分割法求多面体的体积。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 如图，在多面体 $ABCDEF$ 中，已知 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的正方形，且 $△ADE$、$△BCF$ 均为正三角形，$EF\parallel AB$，$EF=2$，则该多面体的体积为()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $E$、$F$ 在底面 $ABCD$ 上的射影为 $E^{\prime }$、$F^{\prime }$，由 $EA=ED$、$FB=FC$ 知 $E^{\prime }$、$F^{\prime }$ 分别在 $AD$、$BC$ 的垂直平分线上。
2. 由 $E^{\prime }{F}^{\prime }=EF=2$ 与 $E^{\prime }{A}^2=F^{\prime }{B}^2$ 定位，再由勾股得 $E$ 到底面距离 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 连 $EB$、$EC$、$ED$，分割为 $E-ABD$、$E-BCD$、$E-BCF$ 三个三棱锥求体积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $E$、$F$ 在底面所在平面上的射影分别为 $E^{\prime }$、$F^{\prime }$．由 $EA=ED$ 知 $E^{\prime }$ 在 $AD$ 的垂直平分线上；由 $FB=FC$ 知 $F^{\prime }$ 在 $BC$ 的垂直平分线上，两线均平行于 $AB$ 且相距 $1$． 因 $E{E}^{\prime }\parallel F{F}^{\prime }$ 且 $EF\parallel AB\parallel E^{\prime }{F}^{\prime }$，四边形 $E{E}^{\prime }{F}^{\prime }F$ 为平行四边形，故 $E^{\prime }{F}^{\prime }=EF=2$． 建立坐标系：$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D(0,1,0)$，$C(1,1,0)$，则 $E^{\prime }=(t,\frac{1}{2},0)$，$F^{\prime }=(t+2,\frac{1}{2},0)$． 由 $EA=1$ 得 $E^{\prime }{A}^2=t^2+\frac{1}{4}=1-h^2$；由 $FB=1$ 得 $F^{\prime }{B}^2=(t+1{)}^2+\frac{1}{4}=1-h^2$，其中 $h=E{E}^{\prime }$．两式相减得 $t=-\frac{1}{2}$，故 $h^2=1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$，$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 $E\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$F\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$． 连接 $EB$、$EC$、$ED$，多面体分割为三棱锥 $E-ABD$、$E-BCD$ 与 $E-BCF$： 前两个锥体同高 $h$、底面拼成整个正方形，体积和为 $\frac{1}{3}\times 1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$； $△BCF$ 为边长 $1$ 的正三角形，面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，$E$ 到平面 $BCF$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$，故 $V_{E-BCF}=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$． 故所求体积为 $\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{3}$． 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多面体体积分割

核心方法：先由射影与勾股定位：$E$ 到底面距离 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$；连接 $EB$、$EC$、$ED$，分割为 $E-ABD$、$E-BCD$、$E-BCF$ 三个三棱锥求和得 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

避坑指南：多面体体积先”分割”或”补形”；$E$ 到底面的距离不是正三角形的高 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，要通过射影定位后再算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于多面体体积的分割与补形，教材”空间几何体”中”割补法”求体积的典型题

结论推广：一般化：拟柱体或”屋脊形”多面体可分割为若干三棱锥，同底等高的锥体体积可合并计算

方法推广：先确定各顶点位置（射影定位），再选择使高的计算最简的分割方式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2009-大纲Ⅰ文-19 解-四棱锥二面角
• 2006-全国卷I文-20 解-异面直线垂直线面角
• 2008-新课标Ⅰ文-12 单-空间线面位置关系