2005-上海卷理-20 解-等差数列与等比数列的通项

本题导读

本题核心考查等差数列与等比数列模型的复合应用。第一问通过建立中低价房面积的等差数列模型，利用求和公式求解累计面积不等式；第二问通过建立总住房面积的等比模型与中低价房的等差模型，通过构造比例不等式，利用对数进行数值估算。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，

(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：设从 2004 年起第 $n$ 年建造的中低价房面积为 $a_n$。由每年增加 50 万平方米可知 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=250$，公差 $d=50$ 的等差数列。列出前 $n$ 项和 $S_n\ge 4750$ 的一元二次不等式即可。
2. 第（2）问：设自 2004 年起第 $n$ 年建造的总住房面积为 $b_n$。由年增长率 8% 可知 $\{b_n\}$ 是首项 $b_1=400$，公比 $q=1.08$ 的等比数列。列出比例不等式 $\frac{a_n}{b_n}>85\%$，变形化简后两边取常用对数估算 $n$ 的取值。

✅【答案】

Success

（1）2013 年；（2）2009 年。

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 设以 2004 年为第一年（即 $n=1$），第 $n$ 年新建中低价房面积为 $a_n$。 由题意可知，数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，首项 $a_1=250$，公差 $d=50$。 则前 $n$ 年新建中低价房的累计面积 $S_n$ 为： $S_n=n\cdot a_1+\frac{n(n-1)}{2}d=250n+\frac{n(n-1)}{2}\times 50=25n^2+225n$

由题意令 $S_n\ge 4750$，得： $25n^2+225n\ge 4750⟹n^2+9n-190\ge 0$ 因式分解得： $(n-10)(n+19)\ge 0$ 因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，所以解得 $n\ge 10$。 由于是“首次”不少于，故 $n=10$。 对应的年份为 $2004+10-1=2013$ 年。

答：到 2013 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米。

（2）解： 设第 $n$ 年新建住房总面积为 $b_n$。 由题意可知，数列 $\{b_n\}$ 是等比数列，首项 $b_1=400$，公比 $q=1+8\%=1.08$。 则第 $n$ 年的通项公式为： $b_n=400\cdot (1.08{)}^{n-1}$。 而第 $n$ 年新建中低价房的面积通项为： $a_n=250+50(n-1)=50n+200$。

根据题意列出比例不等式： $\frac{a_n}{b_n}>85\%⟹\frac{50n+200}{400\cdot (1.08{)}^{n-1}}>0.85$ 化简变形得： $50n+200>340\cdot (1.08{)}^{n-1}⟹5n+20>34\cdot (1.08{)}^{n-1}$

下面对 $n$ 的取值分情况进行数值逐项估算或对数分析：

• 当 $n=5$ 时： 左边 $=5\times 5+20=45$。 右边 $=34\times (1.08{)}^4\approx 34\times 1.3605=46.26$，左边 $<$ 右边。
• 当 $n=6$ 时： 左边 $=5\times 6+20=50$。 右边 $=34\times (1.08{)}^5\approx 34\times 1.4693=49.96$，左边 $>$ 右边。

因为随着 $n$ 增大，左边为线性增长，右边为指数级增长，可在局部区间利用增量判定其首次超越。 通过检验可知，当 $n=6$ 时，中低价房所占比例首次大于 85%。 对应的年份为 $2004+6-1=2009$ 年。

答：到 2009 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列求和公式应用、等比数列通项公式应用、实际应用题中的时间节点换算。
2. 核心方法：实际数学建模法、数列离散逐项代入检验法。
3. 避坑指南：一是年份换算极易出错，以 2004 年为第 1 年，则第 $n$ 年对应的实际年份是 $2004+n-1$，切忌直接用 $2004+n$；二是第二问涉及超越不等式 $5n+20>34\cdot (1.08{)}^{n-1}$，高中阶段不需要用高数强行求解，由于 $n$ 必须为正整数，采用邻近整数点值（如 $n=5,6$）直接计算并比对大小是最快速、合规的选择。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是标准的高考数学应用题，将社会经济生活中的“住房保障率增长”背景与课本中的两类基本数列模型相结合，考查学生的基础建模与运算解决能力。 2.结论推广: 求解等差数列通项 $f(n)=An+B$ 与等比数列通项 $g(n)=C\cdot q^n$ （$q>1$）构成的分式不等式 $\frac{f(n)}{g(n)}>k$ 时，由于指数函数的增长速度远快于线性函数，其解集通常为有限整数区间，求解临界点时应优先采用离散点逼近法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)