2005-上海卷理-18 解-复数的代数形式及运算

本题导读

本题核心考查复数方程的求解与无解性的证明。通过将复数设为代数形式，利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）将复数方程转化为实数范围内的二元方程组，进而利用判别式或配方法证明其无解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 证明：在复数范围内，方程 $|z{|}^2+(1-\text{i})\bar{z}-(1+\text{i})z=\frac{5-5\text{i}}{2+\text{i}}$（$\text{i}$ 为虚数单位）无解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先化简方程右边的复数分式，分子分母同乘以分母的共轭复数进行除法运算。
2. 设复数 $z=x+y\text{i}$ ($x,y\in \mathbf{R}$)，则 $\bar{z}=x-y\text{i}$， $|z{|}^2=x^2+y^2$。
3. 将代数形式代入原方程，整理出左边的实部与虚部。
4. 根据复数相等的条件建立关于 $x,y$ 的实数方程组，通过分析方程组解的存在性完成证明。

✅【答案】

Success

原方程在复数范围内无解

✍【详细解析】

Abstract

证明： 首先化简方程右边的复数分式： $\frac{5-5\text{i}}{2+\text{i}}=\frac{(5-5\text{i})(2-\text{i})}{(2+\text{i})(2-\text{i})}=\frac{10-5\text{i}-10\text{i}+5{\text{i}}^2}{4-{\text{i}}^2}=\frac{5-15\text{i}}{5}=1-3\text{i}$

设 $z=x+y\text{i}$，其中 $x,y\in \mathbf{R}$。 则 $\bar{z}=x-y\text{i}$，且 $|z{|}^2=x^2+y^2$。

将它们代入原方程左边，展开并整理： $\text{左边}=x^2+y^2+(1-\text{i})(x-y\text{i})-(1+\text{i})(x+y\text{i})$ $=x^2+y^2+(x-y\text{i}-x\text{i}+y{\text{i}}^2)-(x+y\text{i}+x\text{i}+y{\text{i}}^2)$ $=x^2+y^2+(x-y-(x+y)\text{i})-(x-y+(x+y)\text{i})$ $=x^2+y^2-2(x+y)\text{i}$

于是原方程转化为： $x^2+y^2-2(x+y)\text{i}=1-3\text{i}$

根据复数相正式相等的充要条件，实部与虚部分别相等，得实数方程组： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\text{(1)}\\ -2(x+y)=-3\text{(2)}\end{array}$ 由 ② 得： $x+y=\frac{3}{2}⟹y=\frac{3}{2}-x$。

将 $y$ 代入 ① 中得： $x^2+{\left(\frac{3}{2}-x\right)}^2=1$ $x^2+\frac{9}{4}-3x+x^2=1$ $2x^2-3x+\frac{5}{4}=0$

计算该一元二次方程的判别式 $\Delta$： $\Delta =(-3{)}^2-4\times 2\times \frac{5}{4}=9-10=-1<0$ 因为 $\Delta <0$，所以该方程在实数范围内无实数解，即不存在满足条件的实数 $x,y$。

综上所述，原方程在复数范围内无解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法（分母实数化）、复数相等的充要条件、二元二次方程组的非线性消元。
2. 核心方法：代数设元 $z=x+y\text{i}$ 降维法。
3. 避坑指南：设元 $z=x+y\text{i}$ 时，必须极其严密地注明 $x,y\in \mathbf{R}$ 这一充要前提条件。因为只有在 $x,y$ 为实数的前提下，才能使用“实部等于实部、虚部等于虚部”建立方程组，同时在最后判定一元二次方程根的状况时，也必须在实数范围内利用 $\Delta <0$ 判定无解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选修类课程“复数”章节中关于复数代数运算与方程求解的高频题型，属于考查运算严密性的标准解答题。 2.结论推广: 求解任何包含模长 $|z|$、共轭 $\bar{z}$ 以及原复数 $z$ 的混合复杂复数方程时，将其转化为直角坐标形式（即代数形式 $z=x+y\text{i}$）通常是最稳妥且通用的解题路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)