本题导读
本题核心考查抛物线的定义及其焦半径性质。通过将两端点横坐标之和转化为通径及焦点弦长，结合几何临界位置判定满足条件的直线条数。
📌【题干】
Question
（2005年上海卷(理)） 过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 、 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线 ()
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在
🔍【思路分析】
破题导航
- 根据抛物线标准方程求出焦参数 和准线方程。
- 利用抛物线的第一定义，将弦 两个端点的横坐标之和转化为焦点弦长 。
- 比较该弦长与抛物线最短焦点弦（通径）的大小关系，确定满足条件的直线的存在性及数量。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
对于抛物线 ，其标准形式为 ， 由此得 。 其焦点坐标为 ，准线方程为 。
设 ， 。 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此焦半径公式为：
由此可得，过焦点的弦 的长度为：
已知两交点的横坐标之和为 ，代入上式得：
根据抛物线的几何性质，在所有过焦点的弦中，通径（垂直于轴的焦点弦）的长度最短，其长度为 。 因为要求的弦长 ，大于通径长度， 所以根据圆锥曲线的对称性，以焦点 为旋转中心，在通径的两侧各存在一条倾斜角互补的直线，使得弦长恰好等于 7。
因此，满足条件的直线有且仅有两条。 故选 B
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：抛物线的焦点弦长公式 、通径的最值几何意义。
- 核心方法：定义转化法、对称性判定法。
- 避坑指南：一是不要盲目去设直线方程 与抛物线方程联立，通过复杂的代数计算去解 。利用几何定义直接算出弦长为 后，与通径长 做大小比对即可直接得出结论；二是要注意，若算出的弦长小于通径（例如小于4），则答案应为不存在。
📖【试题探源与推广】
Tip
1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“抛物线的几何性质”中关于“焦点弦与通径”的标准基础问题，属于高考对直观想象与逻辑推理的常规考查。 2.结论推广: 对于抛物线 ，过焦点作直线交抛物线于 两点，若已知 ： （1）若 （即 ），则此类直线不存在； （2）若 （即 ），则此类直线有且仅有一条（即通径本身）； （3）若 （即 ），则此类直线有且仅有两条。
🔗【关联脉络】
Multi column