2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法

本题导读

本题核心考查绝对值不等式与分式不等式的解法，以及在不同数集限制下集合交集的求解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 已知集合 $M=\{x||x-1|\le 2,x\in \mathbf{R}\}$，$P=\left\{x|\frac{5}{x+1}\ge 1,x\in \mathbf{Z}\right\}$，则 $M\cap P$ 等于 ()

A. $\{x|0<x\le 3,x\in \mathbf{Z}\}$　　　　　　　　　　B. $\{x|0\le x\le 3,x\in \mathbf{Z}\}$

C. $\{x|-1\le x\le 0,x\in \mathbf{Z}\}$　　　　　　　　　　　D. $\{x|-1\le x<0,x\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解绝对值不等式 $|x-1|\le 2$，化简集合 $M$ 的实数区间。
2. 解分式不等式 $\frac{5}{x+1}\ge 1$，并结合元素属于整数集 $\mathbf{Z}$ 的限制，列出集合 $P$ 中的所有整数元素。
3. 根据交集的定义，提取出同时属于 $M$ 和 $P$ 的整数元素。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解集合 $M$： 由 $|x-1|\le 2$ 得： $-2\le x-1\le 2⟹-1\le x\le 3$ 因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $M=\{x|-1\le x\le 3\}$。

解集合 $P$： 由 $\frac{5}{x+1}\ge 1$ 移项通分得： $\frac{5}{x+1}-1\ge 0⟹\frac{5-(x+1)}{x+1}\ge 0⟹\frac{4-x}{x+1}\ge 0$ 等价于： $(4-x)(x+1)\ge 0\text{ 且 }x+1\ne 0$ 解得：$-1<x\le 4$。 因为 $x\in \mathbf{Z}$，所以集合 $P$ 中的整数元素为：$\{0,1,2,3,4\}$。

求 $M\cap P$： 集合 $M$ 的范围是 $[-1,3]$，集合 $P$ 内的整数元素中属于 $[-1,3]$ 的有：$0,1,2,3$。 用集合的描述法写出即为：$\{x|0\le x\le 3,x\in \mathbf{Z}\}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式性质、分式不等式转化方法、交集的元素级运算。
2. 核心方法：不等式变形法、集合元素穷举法。
3. 避坑指南：一是在解分式不等式时，必须注意分母不能为 0 的隐藏条件（$x\ne -1$），若错解为 $-1\le x\le 4$，可能会对后续交集边界的判定造成干扰；二是要看清集合 $P$ 的数集限定为整数集 $\mathbf{Z}$，所以交集结果必然是由孤立整数点构成的集合，而非连续的实数区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第一册“等式性质与不等式性质”与“集合的基本运算”章节中关于不等式组解集的常见综合题改编而来。 2.结论推广: 求解涉及不同数集边界的集合交集题时，先不考虑数集类型，分别求出各不等式的实数域解集区间 $I_1,I_2$，求得公共区间 $I=I_1\cap I_2$ 后，再将最终的数集限制条件（如 $x\in \mathbf{Z}$）施加到区间 $I$ 上，即可保证结果的准确性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)