2005-上海卷理-11 填-直棱柱的表面积计算

本题导读

本题核心考查两个相同直三棱柱拼接后的全面积最值问题。解题关键在于通过分类讨论找出所有可能的拼接方式，建立全面积关于参数 $a$ 的函数表达式，再由题设条件列出不等式组求解。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 有两个相同的直三棱柱，高为 $\frac{2}{a}$，底面三角形的三边长分别为 $3a,4a,5a$ ($a>0$).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析底面性质：底面边长为 $3a,4a,5a$，满足勾股定理，是直角三角形，面积为 $S_0=\frac{1}{2}\times 3a\times 4a=6a^2$。
2. 两个棱柱的总全面积为定值，拼接后减少的表面积等于重合面的面积。要使拼成后的几何体全面积最小，重合面的面积必须最大。
3. 分类讨论可能重合的接触面：①重合面为侧面（三边分别对应重合）；②重合面为底面。
4. 计算不同拼接方式下四棱柱和三棱柱的最小全面积，列出不等式求解。

✅【答案】

Success

$\left(0,\frac{\sqrt{15}}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

单个直三棱柱的底面积为 $S_0=\frac{1}{2}\times 3a\times 4a=6a^2$，周长为 $C=3a+4a+5a=12a$，高为 $h=\frac{2}{a}$。 两直三棱柱未拼接时的表面积总和为： $S_{\text{总}}=2\times (2S_0+C\cdot h)=2\times \left(12a^2+12a\cdot \frac{2}{a}\right)=24a^2+48$

将两个相同的直三棱柱拼成一个新几何体，减少的表面积为重合面面积的 2 倍（即 $2S_{\text{重}}$），新几何体的全面积 $S=S_{\text{总}}-2S_{\text{重}}$。 要使新几何体的全面积最小，重合面的面积 $S_{\text{重}}$ 必须达到最大。

对拼接方式进行分类讨论：

情况 ①：拼成三棱柱 只能通过将相同的两个底面完全重合连接，此时新几何体为高为 $2h$ 的三棱柱。 重合面为底面，减少的面积为： $\Delta S_{\text{三}}=2S_0=12a^2$

情况 ②：拼成四棱柱 通过侧面重合进行拼接，两底面拼成一个平面四边形。侧面面积共有三种：

• 以 $3a$ 为底的侧面，面积为 $S_1=3a\cdot \frac{2}{a}=6$；
• 以 $4a$ 为底的侧面，面积为 $S_2=4a\cdot \frac{2}{a}=8$；
• 以 $5a$ 为底的侧面，面积为 $S_3=5a\cdot \frac{2}{a}=10$。

要使拼成的四棱柱全面积最小，重合侧面的面积必须最大，即选择以 $5a$ 为底的侧面（面积为 10）进行重合。 此时拼成的四棱柱减少的面积为： $\Delta S_{\text{四}}=2S_3=20$ 此时四棱柱的最小全面积为 $S_{\text{四min}}=S_{\text{总}}-20$。

根据题意，“全面积最小的是一个四棱柱”，说明四棱柱的最小全面积必须严格小于三棱柱的全面积（即减少的面积要比三棱柱更多）： $\Delta S_{\text{四}}>\Delta S_{\text{三}}⟹20>12a^2$ $a^2<\frac{5}{3}$ 因为 $a>0$，解得：$0<a<\frac{\sqrt{15}}{3}$。

答案为：$\left(0,\frac{\sqrt{15}}{3}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱柱表面积计算、几何体拼接中的表面积消减原理（全面积 = 独立表面积之和 - 2$\times$重合面积）。
2. 核心方法：最大重合面积比较法、分类讨论思想。
3. 避坑指南：一是需要看清题目要求的是“全面积最小”，即转化求“重合面积最大”；二是侧面重合有 3 种选择，必须挑选面积最大的侧面（对应最长边 5a）作为四棱柱的极限代表参与和底面重合情况的最终对决。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是由立体几何中常规的“表面积最优化”工程应用问题改编而来的能力考查题，侧重于将三维空间关系转化为一元代数不等式。 2.结论推广: 将两个底面边长为 $a,b,c$ 且高为 $h$ 的相同直三棱柱拼接，若侧面最大面积为 $c\cdot h$，底面积为 $S_0$，则拼成四棱柱全面积小于三棱柱的充要条件为 $ch>S_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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