2005-上海卷理-10 填-三角函数的图象与性质

本题导读

本题考查含绝对值的三角函数分段解析式的化简与图象绘制，以及利用数形结合求解函数图象与水平直线交点个数对应的参数取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(理)） 函数 $f(x)=\sin x+2|\sin x|$，$x\in [0,2\pi ]$ 的图象与直线 $y=k$ 有且仅有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据 $\sin x$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 上的正负号进行分类讨论，去掉绝对值符号，将 $f(x)$ 转化为分段函数。
2. 画出 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上的图象，确定最高点坐标。
3. 移动水平直线 $y=k$，观察其与函数图象有两个交点时 $k$ 的范围。

✅【答案】

Success

$(1,3)$

✍【详细解析】

Abstract

根据绝对值的定义，将函数 $f(x)=\sin x+2|\sin x|$ 在区间 $x\in [0,2\pi ]$ 上进行分段讨论：

1. 当 $\sin x\ge 0$ 时，即 $x\in [0,\pi ]$， $|\sin x|=\sin x$， 此时 $f(x)=\sin x+2\sin x=3\sin x$。 由于 $x\in [0,\pi ]$， $\sin x\in [0,1]$，故 $f(x)\in [0,3]$。当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时， $f(x)$ 取得最大值 3。

2. 当 $\sin x<0$ 时，即 $x\in (\pi ,2\pi ]$， $|\sin x|=-\sin x$， 此时 $f(x)=\sin x-2\sin x=-\sin x$。 由于 $x\in (\pi ,2\pi ]$， $\sin x\in [-1,0)$，故 $f(x)=-\sin x\in (0,1]$。当 $x=\frac{3\pi }{2}$ 时， $f(x)$ 取得该段的最大值 1。

综合可得分段函数解析式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}3\sin x,& 0\le x\le \pi \\ -\sin x,& \pi <x\le 2\pi \end{array}$

在坐标系中画出该函数在 $[0,2\pi ]$ 上的图象：

• 在 $[0,\pi ]$ 上是一个最高点为 $(\frac{\pi }{2},3)$ 的正弦拱形；
• 在 $(\pi ,2\pi ]$ 上是一个最高点为 $(\frac{3\pi }{2},1)$ 且端点落在 $(\pi ,0)$ 和 $(2\pi ,0)$ 的正弦拱形。

作水平直线 $y=k$，上下移动该直线：

• 当 $k>3$ 时，直线与图象无交点；
• 当 $k=3$ 时，直线与第一个拱形的顶点相切，有且仅有 1 个交点；
• 当 $1<k<3$ 时，直线只穿过第一个大拱形，有且仅有 2 个交点；
• 当 $k=1$ 时，直线与第二个小拱形顶点相切，并穿过第一个大拱形，共有 3 个交点；
• 当 $0<k<1$ 时，直线同时穿过两个拱形，共有 4 个交点；
• 当 $k=0$ 时，直线与 $x$ 轴重合，交点为 $(0,0),(\pi ,0),(2\pi ,0)$，共有 3 个交点；
• 当 $k<0$ 时，图象在 $x$ 轴上方，无交点。

综上所述，要使 $f(x)$ 的图象与直线 $y=k$ 有且仅有两个不同的交点， $k$ 的取值范围必须在 $1$ 与 $3$ 之间（不含端点）。

答案为：$(1,3)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数构造、三角函数性质、方程根的个数向图象交点个数的数形结合转化。
2. 核心方法：分段去绝对值法、数形结合法。
3. 避坑指南：一是在讨论 $\sin x<0$ 时，容易误认为 $-\sin x$ 的结果为负，从而把图象画在 $x$ 轴下方。实际上此时 $\sin x$ 自身为负，负负得正，后半段图象仍在 $x$ 轴上方；二是区间端点的开闭要结合图象交点个数判断， $k=1$ 和 $k=3$ 处的交点数不满足“仅有 2 个”的要求，必须写成开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第一册“正弦函数的图象与性质”中关于绝对值图象变换的练习衍生而来，通过引入水平直线考查方程根的个数问题。 2.结论推广: 对于形如 $F(x)=\sin x+m|\sin x|$（$m>1$）在 $[0,2\pi ]$ 上的函数，其图象由两个正向拱形组成，高拱峰值为 $m+1$，低拱峰值为 $m-1$。当水平直线 $y=k$ 与图象仅有 2 个交点时，参数 $k$ 的取值范围恒为 $(m-1,m+1)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)